📁 知识点
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第 1 讲：基本概念、方向场与建模
理解微分方程的阶、解、通解、初值问题和积分曲线，并从混合、电路和单摆建立模型。
第 2 讲：变量分离与齐次型一阶方程
掌握变量可分离方程的完整解法，并用比例换元处理齐次型及可平移到齐次型的方程。
第 3 讲：一阶线性、Bernoulli 与 Riccati 方程
从积分因子推导一阶线性公式，并用换元把 Bernoulli 和已知特解的 Riccati 方程降为线性方程。
第 4 讲：恰当方程与积分因子
把微分形式看成势函数的全微分，掌握恰当性判据、势函数重建和常见积分因子。
第 5 讲：一阶隐式方程与奇解
用 p=y' 参数化未解出导数的一阶方程，掌握 Clairaut 方程、包络和奇解判别。
第 6 讲：一阶模型、冷却、混合与正交轨线
把一阶方程用于冷却、阻力运动、混合和轨线族，并明确建模假设与解的物理区间。
第 7 讲：高阶线性方程的一般理论
理解线性算子、存在唯一性、叠加原理、Wronski 行列式以及齐次与非齐次解空间结构。
第 8 讲：常系数齐次方程与 Euler 方程
用特征根系统生成常系数齐次方程的基解，并把 Euler 方程化为常系数方程。
第 9 讲：非齐次线性方程、待定系数与常数变易
用右端类型选择待定系数法或常数变易法，并正确处理与齐次解共振的试探式。
第 10 讲：Laplace 变换法
掌握导数、移位、卷积和阶跃函数的 Laplace 变换，用代数方式求解初值与分段输入问题。
第 11 讲：降阶法与幂级数解
根据方程缺失变量选择降阶，并在常点与正则奇点附近构造幂级数或 Frobenius 解。
第 12 讲：线性微分方程组与基本理论
把高阶方程化为一阶系统，理解矩阵函数、存在唯一性和线性系统的状态表示。
第 13 讲：齐次线性方程组与基解矩阵
用基本解组、Wronski 行列式、Liouville 公式和基解矩阵描述齐次线性系统的全部解。
第 14 讲：非齐次线性方程组与常数变易
由基解矩阵推导非齐次系统的常数变易公式，并分清通解、特解和初值响应。
第 15 讲：常系数系统、矩阵指数与 Jordan 结构
用特征向量、广义特征向量和矩阵指数求常系数线性系统，并连接相图与 Laplace 法。
第 16 讲：几何解释与解的存在唯一性
从线素场和积分方程理解局部存在唯一性，掌握连续、Lipschitz 与 Picard 迭代各自保证什么。
第 17 讲：解的延拓、比较、奇解与连续依赖
理解最大解为何终止，用比较定理控制解，并掌握初值与参数的连续依赖和奇解边界。