第 2 讲：变量分离与齐次型一阶方程

变量分离是最直接的一阶方程类型：把所有 $y$ 放一边、所有 $x$ 放另一边，再积分。但每次除法都可能丢解，必须先检查零点。

变量可分离方程

若

y'=X(x)Y(y),

在 $Y(y)\ne0$ 的区间上可写

\frac{dy}{Y(y)}=X(x)dx,

于是

\int\frac{dy}{Y(y)}=\int X(x)dx+C.

得到隐式关系已经算出解，不必总是解出 $y$ 。

若 $Y(y_*)=0$ ，则 $y\equiv y_*$ 可能是平衡解。因为分离时除以 $Y(y)$ 会把它删掉，所以正确顺序是：

例如 Logistic 方程

y'=ry\left(1-\frac yK\right)

有平衡解 $y=0,K$ 。非平衡解分离后得到

y(t)=\frac{K}{1+Ce^{-rt}}.

不同初值决定解在 $0,K$ 的哪一侧，不能把公式跨过分母零点延拓。

若

y'=F\!\left(\frac yx\right),

令 $v=y/x$ ，即 $y=xv$ ，则

y'=v+xv'.

方程化为

xv'=F(v)-v,

这是关于 $x,v$ 的变量分离方程。积分后别忘了代回 $v=y/x$ 。

“齐次型一阶方程”与“线性齐次方程”不是一个概念：前者是右端只依赖比例 $y/x$ ，后者是线性算子右端为零。

若

y'=F\!\left(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right),

两条直线 $a_ix+b_iy+c_i=0$ 若交于 $(x_0,y_0)$ ，令

X=x-x_0,\qquad Y=y-y_0,

常可消去常数项，化成 $Y'=F(Y/X)$ 。若两直线平行，则更适合令一个线性组合 $u=ax+by$ 。

y'=f(y)

是特殊变量分离方程。无需显式积分，就能从 $f(y)$ 的符号画相线：

若相邻两侧箭头都指向 $y_*$ ，它稳定；都离开则不稳定；一侧靠近一侧离开则半稳定。

积分得到公式后还要找包含初始点的最大区间。限制可能来自：

初值问题的答案不只是一个表达式，还应给它在哪个区间上成立。