第 3 讲：一阶线性、Bernoulli 与 Riccati 方程

一阶线性方程的核心不是背通解，而是找一个乘子把左边拼成乘积导数。Bernoulli 和部分 Riccati 方程则通过合适换元回到这个标准形。

一阶线性方程

标准形式

$$y'+p(x)y=q(x).$$

希望找到 $\mu(x)$ 使

$$(\mu y)'=\mu y'+\mu' y$$

与乘上 $\mu$ 后的左边一致，因此要求

$$\mu'=p\mu,\qquad \mu=e^{\int p(x)dx}.$$

于是

$$(\mu y)'=\mu q,\qquad y=\frac1\mu\left(C+\int\mu q\,dx\right).$$

积分因子本身乘任意非零常数都等价，通常取最简单的一种。

初值形式

若 $y(x_0)=y_0$，用定积分能避免常数混乱：

$$y(x)=e^{-\int_{x_0}^{x}p(s)ds} \left[ y_0+\int_{x_0}^{x} e^{\int_{x_0}^{t}p(s)ds}q(t)dt \right].$$

它也直接展示了初值贡献和外部输入贡献。

Bernoulli 方程

$$y'+p(x)y=q(x)y^n,\qquad n\ne0,1.$$

在 $y\ne0$ 的区间上除以 $y^n$，令

$$z=y^{1-n},\qquad z'=(1-n)y^{-n}y',$$

得到线性方程

$$z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x).$$

解出 $z$ 后再还原 $y$。如果 $n>0$，$y=0$ 往往是被除法丢掉的解，要单独检查。

可通过因变量变换线性化

有些方程写成

$$y'=a(x)g(y)+b(x)h(y)$$

看似不像 Bernoulli，但若存在 $z=\phi(y)$ 使 $z'$ 正好吸收一个非线性因子，就可能化线性。例如含 $e^y y'$ 时令 $z=e^y$；含 $y'/y$ 时令 $z=\ln|y|$。

选择换元时不要只盯着 $y$ 的幂，先寻找“某个复合函数的导数”。

Riccati 方程

一般 Riccati 方程

$$y'=a(x)y^2+b(x)y+c(x)$$

通常不能用初等积分统一求解。但若已知一个特解 $y_p$，令

$$y=y_p+\frac1u,$$

代入并利用 $y_p$ 满足原方程，可得到关于 $u$ 的一阶线性方程。

推导时令 $y'=y_p'-u'/u^2$，展开平方后常数部分抵消，最后得到

$$u'+\bigl(2ay_p+b\bigr)u=-a.$$

因此“已知一个特解”不是附带信息，而是把非线性方程降阶的关键。

解题路线

1. 先把 $y'$ 系数化为 $1$，确认标准形；
2. 线性方程写出 $p,q$ 和积分因子；
3. Bernoulli 明确 $n$，做 $z=y^{1-n}$；
4. 已知 Riccati 特解时做 $y=y_p+1/u$；
5. 换元前列出可能被排除的零解或分支；
6. 还原后代回原方程和初值。

公式里最常见的符号错误来自 $e^{-\int p}$。最可靠的检查不是再背一遍，而是直接求导代回。