第 4 讲：恰当方程与积分因子

方程

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

若左边正好是某个函数 $F(x,y)$ 的全微分，就能立即积分成 $F(x,y)=C$。

恰当性判据

若

$$F_x=M,\qquad F_y=N,$$

则

$$dF=Mdx+Ndy.$$

在单连通区域内，若 $M,N$ 有连续偏导，方程恰当当且仅当

$$M_y=N_x.$$

“单连通”排除了洞；若区域有奇点，局部混合偏导相等不一定给出全局单值势函数。

重建势函数

从 $F_x=M$ 对 $x$ 积分：

$$F(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y).$$

再对 $y$ 求偏导，与 $N$ 比较，求出 $g'(y)$。最后写

$$F(x,y)=C.$$

这里对 $x$ 积分后的“常数”必须写成 $g(y)$，因为对 $x$ 而言任何只依赖 $y$ 的函数导数都为零。

也可把 $M$ 中含 $x$ 的项和 $N$ 中尚未出现的纯 $y$ 项拼起来，但逐步积分法更稳。

不恰当时找积分因子

积分因子 $\mu(x,y)$ 使

$$\mu Mdx+\mu Ndy=0$$

变成恰当方程。它满足

$$(\mu M)_y=(\mu N)_x,$$

这是关于 $\mu$ 的偏微分方程，一般并不好解；课程重点是可由结构识别的特殊情形。

只依赖 $x$ 的积分因子

若

$$\frac{M_y-N_x}{N}=f(x)$$

只依赖 $x$，则

$$\mu(x)=e^{\int f(x)dx}.$$

因为展开恰当条件可得 $\mu'/\mu=(M_y-N_x)/N$。

只依赖 $y$ 的积分因子

若

$$\frac{N_x-M_y}{M}=g(y)$$

只依赖 $y$，则

$$\mu(y)=e^{\int g(y)dy}.$$

两个公式的分子顺序不同，最好每次从 $(\mu M)_y=(\mu N)_x$ 现场推一次，而不是死记符号。

齐次微分形式

若 $M,N$ 是同次齐次函数，在适当区域常可尝试

$$\mu(x,y)=\frac1{xM+yN},$$

前提是分母不为零。课件还讨论了按 $x\pm y$、$xy$ 或其他组合寻找积分因子的情形：本质是猜 $\mu=\phi(u(x,y))$，让恰当条件化为只关于 $u$ 的常微分方程。

分组与观察法

有时微分式能拆成几个熟悉全微分：

$$x,dy+y,dx=d(xy),\qquad \frac{y,dx-x,dy}{x^2+y^2}=-d\arctan\frac yx.$$

识别这类结构可以避免机械求积分因子。若某一组差一个简单乘子，也可先分组再找共同积分因子。

解题模板

1. 写成 $Mdx+Ndy=0$；
2. 算 $M_y,N_x$；
3. 相等则重建 $F$；
4. 不等时分别检查 $(M_y-N_x)/N$ 是否只依赖 $x$、$(N_x-M_y)/M$ 是否只依赖 $y$；
5. 再看齐次性或 $x\pm y,xy$ 等组合；
6. 乘上积分因子后必须重新验证恰当性；
7. 求出隐式解后代回微分形式检查。

积分因子通常不唯一：若 $\mu$ 是积分因子，乘一个非零常数仍是。更一般地，已求得第一积分 $F=C$ 后，$\phi(F)\mu$ 也可能给出等价积分因子。