第 5 讲：一阶隐式方程与奇解

一般一阶方程可以写成

$$F(x,y,p)=0,\qquad p=y'.$$

如果它没有显式解出 $p$，直接把 $p$ 当成新参数，往往能把问题化成关于 $x(p)$ 或 $y(p)$ 的方程。

可解出 $y$ 的方程

若

$$y=F(x,p),\qquad p=y',$$

对 $x$ 求导：

$$p=F_x+F_p\frac{dp}{dx}.$$

若能解出 $x$ 关于 $p$ 的一阶方程，先求 $x=x(p)$，再由 $y=F(x(p),p)$ 得参数解。

Clairaut 方程

$$y=xp+f(p).$$

求导得

$$p=p+\bigl[x+f'(p)\bigr]p',$$

所以

$$\bigl[x+f'(p)\bigr]p'=0.$$

一支是 $p'=0$，即 $p=C$，得到直线族

$$y=Cx+f(C).$$

另一支满足

$$x+f'(p)=0,\qquad y=xp+f(p),$$

消去 $p$ 后可能得到直线族的包络，这通常是奇解。

不能在求导后直接除以 $x+f'(p)$ 或 $p'$；两因子对应的分支都要保留。

可解出 $x$ 的方程

若 $x=G(y,p)$，可把 $x$ 看成 $y$ 的函数。由于

$$\frac{dx}{dy}=\frac1p,$$

对 $y$ 求导得

$$\frac1p=G_y+G_p\frac{dp}{dy}.$$

这可能化成 $y(p)$ 的方程。最后用 $x=G(y(p),p)$ 还原参数解。

可解出 $p$ 的多个分支

若代数上能得到

$$p=f_i(x,y),\qquad i=1,\dots,k,$$

原方程相当于若干个显式一阶方程的并集。每个分支都要分别求解，并检查分支交界处是否还能拼接成可微解。

平方或开方时尤其要保留正、负分支；反过来平方还可能引入伪解，最终必须代回原方程。

包络与奇解

设通解形成单参数曲线族

$$\Phi(x,y,C)=0.$$

包络的候选点满足

$$\Phi(x,y,C)=0,\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial C}(x,y,C)=0.$$

消去 $C$ 得到的曲线还只是候选包络。要确认它是原微分方程的奇解，需要：

1. 曲线本身满足原方程；
2. 它不能由曲线族中某个固定 $C$ 得到；
3. 局部确实与曲线族成员相切。

奇解的本质是：在通解族之外存在一条解曲线，常作为通解族的包络。它通常出现在唯一性条件失效的位置。

$p$ 判别式

对 $F(x,y,p)=0$，奇解候选也可由

$$F(x,y,p)=0,\qquad F_p(x,y,p)=0$$

消去 $p$ 得到。这个判别式找出导数分支合并的位置，但仍要代回验证；判别式可能包含非解的奇异曲线。

参数解的检查

得到 $x=x(p),y=y(p)$ 后，在 $dx/dp\ne0$ 的区间验证

$$\frac{dy/dp}{dx/dp}=p$$

并代回 $F(x,y,p)=0$。若 $dx/dp=0$，要单独判断该点是否是尖点、竖直切线或参数退化，不能用分式草率处理。

常见错误

• 令 $p=y'$ 后忘了 $p$ 随 $x$ 变化；
• 求导后除掉一个因子，丢失通解或奇解分支；
• 把判别式曲线直接宣布为奇解，没有代回；
• 参数解只满足代数关系，却不满足 $dy/dx=p$；
• 把通解族中某个特殊参数成员误称为奇解。