第 6 讲：一阶模型、冷却、混合与正交轨线

应用题不在于把现实名词换成字母，而在于找到一个局部平衡规律。写出微元层面的“变化率 = 输入 − 输出”后，方程类型通常自然出现。

Newton 冷却定律

物体温度 T(t)T(t) 与环境温度 TaT_a 的差决定冷却速率：

T′=−k(T−Ta),k>0.T'=-k(T-T_a),\qquad k>0.

若 TaT_a 为常数，解为

T(t)=Ta+(T0−Ta)e−kt.T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.

温差指数衰减而不是温度直接指数衰减。由两次测温可以先消去未知常数或解出 kk，再预测其他时刻。

模型假设物体内部温度近似均匀、换热系数稳定、环境温度已知。若环境温度随时间变化，方程仍是一阶线性，但右端变成 kTa(t)kT_a(t)。

带阻力的运动

物体受恒力和与速度成正比的阻力：

mv′=F−kv.mv'=F-kv.

这是线性方程。平衡速度

v∗=Fkv_*=\frac Fk

使右端为零，解以指数方式趋向它：

v(t)=v∗+(v0−v∗)e−kt/m.v(t)=v_*+(v_0-v_*)e^{-kt/m}.

若阻力与 v2v^2 成正比，则得到可分离的非线性方程。阻力方向应与速度相反，建模时必须根据选定正方向写符号。

混合模型

溶质量 QQ 的变化遵循

Q′=rincin−routQV(t),V(t)=V0+(rin−rout)t.Q'=r_{in}c_{in}-r_{out}\frac{Q}{V(t)},\qquad V(t)=V_0+(r_{in}-r_{out})t.

若流量相等，体积恒定，方程是常系数一阶线性。若不等，系数随时间变化，且解只在 V(t)>0V(t)>0、未溢出前有物理意义。

常见错误是把“流出浓度”写成流入浓度，或忘记体积在变。

曲线族的轨线

给定单参数曲线族

F(x,y,C)=0,F(x,y,C)=0,

对 xx 求导并消去 CC，得到曲线族满足的一阶方程

y′=f(x,y).y'=f(x,y).

正交轨线

在相交点处与原曲线正交的新曲线斜率满足

y⊥′=−1f(x,y)y'_{\perp}=-\frac1{f(x,y)}

（原斜率非零有限时）。因此解新方程

y′=−1f(x,y)y'=-\frac1{f(x,y)}

就得到正交轨线族。

若原曲线出现水平或竖直切线，负倒数公式要通过切向量理解：水平对应正交轨线竖直，不能把除以零当作普通数值。

等角轨线

若新曲线与原曲线夹角恒为 α\alpha，斜率关系来自正切加法：

mnew=tan⁡(arctan⁡m±α)=m±tan⁡α1∓mtan⁡α.m_{new}=\tan(\arctan m\pm\alpha) =\frac{m\pm\tan\alpha}{1\mp m\tan\alpha}.

正交轨线是 α=π/2\alpha=\pi/2 的极限情形。

几何反射模型

探照灯反射面等问题通常把“入射方向、法线、反射方向共面且入射角等于反射角”翻译成切线斜率关系，得到微分方程。关键步骤是先画切线、法线与焦点连线，再用向量或半角关系；直接套结论容易把坐标轴方向写反。

应用题交付标准

一个完整答案应包含：

  1. 未知量和单位；
  2. 建模假设；
  3. 微分方程与初值；
  4. 求解过程；
  5. 解的有效时间区间；
  6. 对长期趋势或特殊值的解释。

最后看结果是否符合物理直觉：冷却温度应趋于环境温度，受恒力和线性阻力的速度应趋于终端速度，密闭混合中的总溶质量不能无故为负。

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