第 7 讲：高阶线性方程的一般理论

高阶线性方程的重点不只是某一种求解技巧，而是先看清“全部解”形成什么结构。这个结构决定了为什么齐次方程需要 $n$ 个基本解、非齐次方程只需再找一个特解。

标准形式与线性算子

$n$ 阶线性方程标准化为

L[y] =y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(x)y=f(x).

线性意味着

L[c_1y_1+c_2y_2] =c_1L[y_1]+c_2L[y_2].

它不要求系数是常数，只要求未知函数及各阶导数都一次出现，彼此不相乘，也不经过非线性函数。

若系数和 $f$ 在区间 $I$ 连续，则给定 $x_0\in I$ 和初值

y(x_0),y'(x_0),\dots,y^{(n-1)}(x_0),

初值问题在整个 $I$ 上存在唯一解。

对 $L[y]=0$ ，任意解的线性组合仍是解，因此解集是向量空间。存在唯一性定理表明其维数为 $n$ 。

若 $y_1,\dots,y_n$ 线性无关，则它们构成基本解组，通解为

y_h=C_1y_1+\cdots+C_ny_n.

任意常数的个数不是经验，而是解空间维数。

W(y_1,\dots,y_n)(x) =\det \begin{pmatrix} y_1&\cdots&y_n\\ y_1'&\cdots&y_n'\\ \vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)} \end{pmatrix}.

对同一个 $n$ 阶线性齐次方程的解，若某一点 $W(x_0)\ne0$ ，它们线性无关并构成基本解组。Abel 公式给出

W(x)=W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^{x}a_1(t)dt\right).

所以在系数连续区间内，Wronski 要么处处非零，要么处处为零。

对任意一般函数， $W=0$ 并不总能推出线性相关；这个充分结论依赖它们是同一线性方程的解等条件。

若 $y_p$ 是 $L[y]=f$ 的一个特解，而 $y_h$ 是齐次解，则

L[y_p+y_h]=f.

反过来，任意两个非齐次解之差满足齐次方程。因此全部非齐次解为

y=y_p+C_1y_1+\cdots+C_ny_n.

非齐次解集不是过原点的向量空间，而是齐次解空间平移后的仿射空间。

若 $L[y_i]=f_i$ ，则

L[c_1y_1+c_2y_2]=c_1f_1+c_2f_2.

这允许把复杂右端拆成几部分，分别找特解再相加。注意只有线性方程能这样做。

二阶齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=0

若已知非零解 $y_1$ ，令 $y=v(x)y_1(x)$ 。代入后含 $v$ 的项因 $y_1$ 满足原方程而抵消，剩下关于 $v'$ 的一阶方程。最终第二个解可写为

y_2=y_1\int \frac{e^{-\int p(x)dx}}{y_1(x)^2}dx.

这叫降阶公式。使用时要在 $y_1\ne0$ 的区间内工作。