第 8 讲：常系数齐次方程与 Euler 方程

常系数线性齐次方程之所以能用代数求解，是因为指数函数求导后只差一个常数倍。代入 $e^{rx}$ 后，微分算子就变成关于 $r$ 的多项式。

特征方程

对

a_0y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0, \qquad a_0\ne0,

试 $y=e^{rx}$ ，得到

P(r)=a_0r^n+a_1r^{n-1}+\cdots+a_n=0.

每个特征根按照类型生成基解。

根 $r_1,\dots,r_n$ 不同时，

y=C_1e^{r_1x}+\cdots+C_ne^{r_nx}.

若 $r$ 是 $m$ 重根，对应

e^{rx},xe^{rx},\dots,x^{m-1}e^{rx}.

乘 $x^k$ 是为了补出线性无关的解，不能只把同一个指数项重复写 $m$ 次。

若 $\alpha\pm i\beta$ 是一对复根，对应两个实解

e^{\alpha x}\cos\beta x,\qquad e^{\alpha x}\sin\beta x.

若这对复根重数为 $m$ ，还要依次乘 $1,x,\dots,x^{m-1}$ 。

令 $D=d/dx$ ，方程写作

P(D)y=0.

若 $P(r)=(r-r_1)^{m_1}\cdots(r-r_k)^{m_k}$ ，则

P(D)=(D-r_1)^{m_1}\cdots(D-r_k)^{m_k}.

这个表示也解释了为什么重根产生 $x^ke^{rx}$ ，并为非齐次方程中的共振规则做准备。

典型形式

x^2y''+axy'+by=0,\qquad x\ne0.

可以试幂函数 $y=x^m$ ，得到指标方程

m(m-1)+am+b=0.

在 $x>0$ 上也可令

t=\ln x,\qquad Y(t)=y(e^t).

利用

xy'=Y',\qquad x^2y''=Y''-Y',

把 Euler 方程变成常系数方程。对 $x<0$ 可用 $t=\ln|x|$ 分区间处理，不能让解跨过奇点 $x=0$ 。

若指标根为重根 $m$ ，基解为

x^m,\qquad x^m\ln|x|.

复根 $\alpha\pm i\beta$ 对应

|x|^\alpha\cos(\beta\ln|x|),\qquad |x|^\alpha\sin(\beta\ln|x|).

例如

y''+\lambda y=0,\qquad y(0)=y(L)=0

并非任意 $\lambda$ 都有非零解。根据 $\lambda$ 的正、零、负三种情形分别写通解，边界条件会筛出离散的特征值

\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad n=1,2,\dots

及对应特征函数 $\sin(n\pi x/L)$ 。这说明边值条件不是简单“解两个常数”，有时会决定参数本身。