第 9 讲：非齐次线性方程、待定系数与常数变易

非齐次线性方程的通解永远是

$$y=y_h+y_p.$$

$y_h$ 解决全部自由响应，$y_p$ 表示给定外力的一种受迫响应。求解的重点是高效找到一个特解。

待定系数法适用范围

对常系数方程

$$P(D)y=f(x),$$

若 $f$ 是下列函数的有限和，待定系数法最方便：

• 多项式 $P_m(x)$；
• 指数 $e^{\alpha x}$；
• $\cos\beta x,\sin\beta x$；
• 它们的乘积 $e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]$。

试探式应属于与右端同类、且对求导封闭的函数空间。例如右端为

$$e^{\alpha x}P_m(x)cos\beta x,$$

即使没有正弦项，试探式也要同时包含同阶多项式乘正弦和余弦，因为求导会相互转换。

共振时为什么乘 $x^s$

把复形式右端看成 $e^{\lambda x}P_m(x)$，其中 $\lambda=\alpha+i\beta$。若 $\lambda$ 不是特征根，直接取

$$y_p=e^{\lambda x}Q_m(x).$$

若 $\lambda$ 是特征多项式 $P(r)$ 的 $s$ 重根，原试探空间与齐次解重合，必须乘 $x^s$：

$$y_p=x^se^{\lambda x}Q_m(x).$$

$s$ 是对应复根的重数，不是方程总阶数。

例如

$$y''+4y=x\sin2x.$$

$\pm2i$ 是简单特征根，因此试探式应为

$$y_p=x\bigl[(Ax+B)\cos2x+(Cx+D)\sin2x\bigr].$$

右端先拆再叠加

若

$$f=f_1+f_2,$$

可分别找 $P(D)y_{p1}=f_1$、$P(D)y_{p2}=f_2$，再令 $y_p=y_{p1}+y_{p2}$。每一部分的共振次数可能不同，应分别判断，不能先合并成一个笨重试探式。

三角函数乘积可先用积化和差拆成不同频率；每个频率单独检查是否共振。

常数变易法

待定系数法不适用于 $\ln x,\tan x$ 或一般连续右端。对二阶标准方程

$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),$$

设 $y_1,y_2$ 是齐次基本解，令

$$y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).$$

附加条件

$$u_1'y_1+u_2'y_2=0$$

以消掉二阶导中的冗余项，再由原方程得到

$$u_1'y_1'+u_2'y_2'=f.$$

解线性方程组可得

$$u_1'=-\frac{y_2f}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1f}{W},\qquad W=y_1y_2'-y_1'y_2.$$

积分后代回即可。积分常数产生的部分属于齐次解，可在特解中取为零。

Green 函数的影子

初值为零时，线性系统对任意输入 $f$ 的响应可写成核函数与 $f$ 的积分。常系数二阶方程中，这常表现为卷积

$$y_p(x)=\int_0^x g(x-t)f(t)dt.$$

$g$ 是系统对单位冲击的响应。后续 Laplace 变换把卷积变成乘法，本质上仍是同一个线性响应结构。

做题顺序

1. 先求完整的 $y_h$；
2. 按右端拆项；
3. 对每一项识别 $\alpha+i\beta$ 与多项式次数；
4. 查该复数是不是特征根、重数多少；
5. 写试探式并代入解系数；
6. 不属于待定系数类型时改用常数变易或 Laplace；
7. 最终用初值确定齐次常数。

“猜对形状”只是开始。代入前先数未知系数，代入后按同类项比较，能减少遗漏。