第 10 讲：Laplace 变换法

Laplace 变换把时间域中的微分变成变换域中的乘法，同时把初值自动带入。它特别适合常系数线性初值问题、分段输入和冲击输入。

定义与存在条件

\mathcal L\{f(t)\}(s) =F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt.

若 $f$ 分段连续且为指数阶，即 $|f(t)|\le Me^{at}$ ，则对充分大的 $s$ 变换存在。

常用表：

\mathcal L\{1\}=\frac1s,\qquad \mathcal L\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}},

\mathcal L\{e^{at}\}=\frac1{s-a},\qquad \mathcal L\{\sin bt\}=\frac b{s^2+b^2},\qquad \mathcal L\{\cos bt\}=\frac s{s^2+b^2}.

分部积分得

\mathcal L\{y'\}=sY-y(0),

进一步

\mathcal L\{y''\} =s^2Y-sy(0)-y'(0),

一般地

\mathcal L\{y^{(n)}\} =s^nY-s^{n-1}y(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0).

这就是初值问题转成代数方程的原因。

对方程整体取变换，把 $Y(s)$ 的项收集到一侧：

P(s)Y(s)=F(s)+\text{初值项}.

然后：

重根分母 $(s-a)^k$ 对应 $t^{k-1}e^{at}/(k-1)!$ 。不可约二次式先配成 $(s-a)^2+b^2$ ，再拆出余弦和正弦分子。

第一移位：

\mathcal L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a).

Heaviside 函数 $u(t-a)$ 用于把输入在 $t=a$ 打开。第二移位：

\mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\} =e^{-as}F(s).

分段函数应先写成“原基线 + 每个跳变后的修正”，并让修正表示成 $f(t-a)$ 的形式。例如在 $a$ 后开启 $g(t)$ ，需要改写成 $u(t-a)h(t-a)$ 才能直接套表。

(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau,

满足

\mathcal L\{f*g\}=F(s)G(s).

若 $Y(s)$ 是两个已知变换的乘积但部分分式不好做，可在时间域写成卷积。线性系统中，输出常写为“冲激响应 * 输入”。

Dirac $\delta(t-a)$ 的变换为

\mathcal L\{\delta(t-a)\}=e^{-as}.

它表示在极短时间内施加有限冲量。含 $\delta$ 的方程可以在变换域直接处理；在时间域则常导致状态某阶导数发生跳变。

对

\mathbf x'=A\mathbf x+\mathbf f(t),\qquad \mathbf x(0)=\mathbf x_0,

变换后

(sI-A)\mathbf X(s)=\mathbf x_0+\mathbf F(s),

所以

\mathbf X(s)=(sI-A)^{-1}[\mathbf x_0+\mathbf F(s)].

小矩阵可直接求逆并逐分量逆变换；高维时矩阵指数或结构分解通常更清楚。