第 11 讲：降阶法与幂级数解

高阶非线性方程通常没有统一方法，但方程若缺少某个变量，就提示存在可利用的不变性；线性方程在普通函数难以求解时，还可以在一点附近直接构造级数解。

缺少 $y$ ：令 $p=y'$

若方程不显含 $y$ ，形如

F(x,y',y'',\dots)=0,

令 $p(x)=y'(x)$ ，则

y''=p',\quad y'''=p'',\dots

方程阶数降低一阶。先解 $p$ ，再积分 $y=\int p,dx+C$ 。

若方程不显含 $x$ ，令

p(y)=\frac{dy}{dx}.

链式法则给

y''=\frac{dp}{dx} =\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} =p\frac{dp}{dy}.

三阶导还要继续按 $d/dx=p,d/dy$ 计算。解出 $p(y)$ 后，再由 $dy/dx=p(y)$ 分离变量。

除以 $p$ 前要检查 $p=0$ 对应的常值解。

二阶齐次线性方程已知解 $y_1$ 时，令 $y=v y_1$ 得第二个解

y_2=y_1\int\frac{e^{-\int p dx}}{y_1^2}dx.

更高阶方程若已知一个非零解，也可因式分解相应微分算子或令 $y=y_1u$ 降低阶数。

考虑

y''+p(x)y'+q(x)y=0.

若 $p,q$ 在 $x_0$ 附近解析， $x_0$ 是常点。设

y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,

逐项求导并代入，统一成相同幂次，比较系数得到递推关系。 $a_0,a_1$ 通常是两个自由常数，对应二阶解空间的两个维度。

计算步骤：

若 $x_0$ 不是常点，但

(x-x_0)p(x),\qquad (x-x_0)^2q(x)

在 $x_0$ 附近解析，则 $x_0$ 是正则奇点。尝试

y=(x-x_0)^r \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,\qquad a_0\ne0.

最低次幂给出指标方程，先解 $r$ ；其余系数给递推。两个指标根差不是整数时，通常得到两个独立 Frobenius 解；重根或相差整数时，第二个解可能含 $\ln|x-x_0|$ 。

课件的幂级数部分强调：定理保证的是在相应解析条件下存在这种形式的解，不是所有奇点都能用普通幂级数处理。