第 12 讲：线性微分方程组与基本理论

多个状态量相互耦合时，自然得到一阶系统

\mathbf x'(t)=A(t)\mathbf x(t)+\mathbf f(t).

它既能直接描述多变量模型，也能统一表示任意高阶标量方程。

高阶方程化为一阶系统

对

y^{(n)}+a_1(t)y^{(n-1)}+\cdots+a_n(t)y=f(t),

令

x_1=y, x_2=y', \dots, x_n=y^{(n-1)}.

则

\mathbf x'= \begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -a_n&-a_{n-1}&-a_{n-2}&\cdots&-a_1 \end{pmatrix} \mathbf x+ \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\f\end{pmatrix}.

高阶初值正好组成状态初值 $\mathbf x(t_0)$ 。

矩阵函数 $A(t)=[a_{ij}(t)]$ 的连续、求导和积分按元素定义：

A'(t)=[a_{ij}'(t)],\qquad \int A(t)dt=\left[\int a_{ij}(t)dt\right].

乘积求导仍为

(A B)'=A'B+AB',

但矩阵一般不可交换，顺序不能调换。若 $A(t)$ 可逆，

(A^{-1})'=-A^{-1}A'A^{-1}.

若 $A(t)$ 和 $\mathbf f(t)$ 在区间 $I$ 连续，则对任意 $t_0\in I$ 和初值 $\mathbf x(t_0)=\mathbf x_0$ ，线性系统在整个 $I$ 上存在唯一解。

线性系统的这个结论比一般非线性系统更强：系数连续即可，不需额外单独验证 Lipschitz，因为右端对 $\mathbf x$ 是线性的，并在紧区间上满足 Lipschitz 控制。

初值问题等价于

\mathbf x(t)=\mathbf x_0+ \int_{t_0}^{t} [A(s)\mathbf x(s)+\mathbf f(s)]ds.

从常函数 $\mathbf x_0(t)=\mathbf x_0$ 出发定义

\mathbf x_{k+1}(t)=\mathbf x_0+ \int_{t_0}^{t}[A(s)\mathbf x_k(s)+\mathbf f(s)]ds,

在适当区间上一致收敛到唯一解。这是 Picard 逐步逼近在系统中的版本，也解释了存在唯一性证明的构造性。

齐次系统

\mathbf x'=A(t)\mathbf x

的解集是 $n$ 维向量空间。非齐次系统的两个解之差是齐次解，所以仍有

\mathbf x=\mathbf x_h+\mathbf x_p.

这与高阶线性标量方程完全平行；矩阵只是把 $n$ 个状态统一装进向量。

给定初始时刻 $t_0$ ，齐次系统的状态转移矩阵 $\Phi(t,t_0)$ 满足

\frac{\partial}{\partial t}\Phi(t,t_0) =A(t)\Phi(t,t_0),\qquad \Phi(t_0,t_0)=I.

它把初态映到当前状态：

\mathbf x(t)=\Phi(t,t_0)\mathbf x_0.

并满足组合律

\Phi(t,s)\Phi(s,t_0)=\Phi(t,t_0).

对时变矩阵 $A(t)$ ，一般不能随意写成 $e^{\int A dt}$ ，除非不同时刻的矩阵满足适当交换条件。常系数时才直接是 $e^{A(t-t_0)}$ 。