第 13 讲：齐次线性方程组与基解矩阵

齐次系统

x′=A(t)x\mathbf x'=A(t)\mathbf x

的全部解构成 nn 维线性空间。选取 nn 个线性无关解作为列，就得到把所有解一次装进去的基解矩阵。

基本解组

若 x1(t),…,xn(t)\mathbf x_1(t),\dots,\mathbf x_n(t) 都是系统解，且线性无关，就称为基本解组。任意解都可唯一写成

x(t)=c1x1(t)+⋯+cnxn(t).\mathbf x(t)=c_1\mathbf x_1(t)+\cdots+c_n\mathbf x_n(t).

把这些解作为列：

Φ(t)=[x1(t)⋯xn(t)].\Phi(t)= \bigl[\mathbf x_1(t) \cdots \mathbf x_n(t)\bigr].

由于每一列都满足方程，

Φ′=A(t)Φ.\Phi'=A(t)\Phi.

Φ\Phi 是基解矩阵当且仅当 det⁡Φ(t)≠0\det\Phi(t)\ne0。

Wronski 行列式与 Liouville 公式

系统的 Wronski 行列式就是

W(t)=det⁡Φ(t).W(t)=\det\Phi(t).

Liouville 公式：

W(t)=W(t0)exp⁡(∫t0ttr⁡A(s)ds).W(t)=W(t_0) \exp\left( \int_{t_0}^{t}\operatorname{tr}A(s)ds \right).

所以若某一点 W(t0)≠0W(t_0)\ne0，则整个连续区间上都不为零；若一点为零，则这些解始终线性相关。

这也表明系统流对体积的伸缩由 tr⁡A\operatorname{tr}A 控制：迹为负时体积元总体收缩，迹为正时膨胀。

基解矩阵不唯一

若 Φ\Phi 是基解矩阵，CC 是任意常数可逆矩阵，则

Φ~=ΦC\widetilde\Phi=\Phi C

仍是基解矩阵。反过来，任意两个基解矩阵都相差右乘一个常数可逆矩阵。

右乘而不是左乘：右乘是在列解之间做常系数线性组合；左乘一般会破坏 Φ′=AΦ\Phi'=A\Phi。

标准基解矩阵

指定

Φ(t0)=I\Phi(t_0)=I

得到相对于 t0t_0 的标准基解矩阵，也就是状态转移矩阵 Φ(t,t0)\Phi(t,t_0)。若已有任意基解矩阵 X(t)X(t)，则

Φ(t,t0)=X(t)X−1(t0).\Phi(t,t_0)=X(t)X^{-1}(t_0).

它自动满足初始条件，并给出

x(t)=Φ(t,t0)x0.\mathbf x(t)=\Phi(t,t_0)\mathbf x_0.

伴随系统与逆矩阵

由 (Φ−1)′=−Φ−1A(\Phi^{-1})'=-\Phi^{-1}A 可见，Φ−1\Phi^{-1} 的行向量与某个伴随系统相关。这个公式在常数变易时非常重要：它保证

ddt(Φ−1x)\frac{d}{dt}(\Phi^{-1}\mathbf x)

能把齐次演化抵消掉，只留下外力项。

如何验证候选基解矩阵

给定矩阵 X(t)X(t)，依次检查：

  1. 求导，验证 X′=AXX'=AX；
  2. 在一个方便的点计算 det⁡X\det X；
  3. 若非零，则由 Liouville 公式知全区间可逆；
  4. 通解写成 x=X(t)c\mathbf x=X(t)\mathbf c；
  5. 初值给出 c=X−1(t0)x0\mathbf c=X^{-1}(t_0)\mathbf x_0。

只验证每一列是解还不够；若列之间相关，就不能张成全部解。

与高阶方程的对应

把 nn 阶标量方程化为一阶系统后，标量基本解 y1,…,yny_1,\dots,y_n 会形成矩阵

Φ=(y1⋯yny1′⋯yn′⋮⋮y1(n−1)⋯yn(n−1)).\Phi= \begin{pmatrix} y_1&\cdots&y_n\\ y_1'&\cdots&y_n'\\ \vdots&&\vdots\\ y_1^{(n-1)}&\cdots&y_n^{(n-1)} \end{pmatrix}.

它的行列式正是标量方程的 Wronski 行列式。两套理论不是类比，而是同一个系统表示。

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