第 14 讲：非齐次线性方程组与常数变易

对非齐次系统

x′=A(t)x+f(t),\mathbf x'=A(t)\mathbf x+\mathbf f(t),

齐次解中的常向量 c\mathbf c 不再固定，而是随时间变化。这就是常数变易法。

推导

设 Φ\Phi 是齐次系统的基解矩阵，令

x(t)=Φ(t)c(t).\mathbf x(t)=\Phi(t)\mathbf c(t).

求导：

x′=Φ′c+Φc′=AΦc+Φc′.\mathbf x' =\Phi'\mathbf c+\Phi\mathbf c' =A\Phi\mathbf c+\Phi\mathbf c'.

与原方程比较，齐次部分抵消，得到

Φc′=f,c′=Φ−1f.\Phi\mathbf c'=\mathbf f,\qquad \mathbf c'=\Phi^{-1}\mathbf f.

所以

c(t)=c0+∫Φ−1(t)f(t) dt,\mathbf c(t)=\mathbf c_0+\int\Phi^{-1}(t)\mathbf f(t)\,dt,

通解为

x(t)=Φ(t)[c0+∫Φ−1(t)f(t) dt].\mathbf x(t)=\Phi(t) \left[ \mathbf c_0+\int\Phi^{-1}(t)\mathbf f(t)\,dt \right].

不定积分中的常向量可以吸收进 c0\mathbf c_0。

初值形式

若用标准状态转移矩阵 Φ(t,t0)\Phi(t,t_0)，初值问题的解写成

x(t)=Φ(t,t0)x0+∫t0tΦ(t,τ)f(τ) dτ.\mathbf x(t)= \Phi(t,t_0)\mathbf x_0 +\int_{t_0}^{t} \Phi(t,\tau)\mathbf f(\tau)\,d\tau.

第一项是初态的自由响应；第二项是从每个时刻 τ\tau 注入的外力，经系统传播到 tt 的累积响应。

若用单参数基解矩阵 X(t)X(t)，则

Φ(t,τ)=X(t)X−1(τ).\Phi(t,\tau)=X(t)X^{-1}(\tau).

因此同一公式也可写成

x(t)=X(t)X−1(t0)x0+X(t)∫t0tX−1(τ)f(τ) dτ.\mathbf x(t)=X(t)X^{-1}(t_0)\mathbf x_0 +X(t)\int_{t_0}^{t}X^{-1}(\tau)\mathbf f(\tau)\,d\tau.

找一个特解

不关心初值时，可取

xp(t)=Φ(t)∫Φ−1(t)f(t) dt.\mathbf x_p(t)=\Phi(t)\int\Phi^{-1}(t)\mathbf f(t)\,dt.

再加齐次通解 Φ(t)c\Phi(t)\mathbf c。积分常数不要在特解中重复保留，否则会和齐次常数重复。

常系数系统

若 AA 为常矩阵，标准状态转移矩阵为

eA(t−t0).e^{A(t-t_0)}.

初值解变成 Duhamel 公式：

x(t)=eA(t−t0)x0+∫t0teA(t−τ)f(τ)dτ.\mathbf x(t) =e^{A(t-t_0)}\mathbf x_0 +\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}\mathbf f(\tau)d\tau.

这就是矩阵版卷积。若 f\mathbf f 为常向量且 AA 可逆，也可先找平衡特解

xp=−A−1f,\mathbf x_p=-A^{-1}\mathbf f,

再令 z=x−xp\mathbf z=\mathbf x-\mathbf x_p 化为齐次系统。

直接待定形式

常系数系统且外力为多项式、指数或正弦余弦时，也可猜同类向量函数的特解，代入求向量系数。若对应频率使矩阵 λI−A\lambda I-A 不可逆，就发生共振，需要乘 tt 或用 Jordan 结构处理。

常数变易法始终适用，待定形式只是计算捷径。

常见错误

  • Φ−1f\Phi^{-1}\mathbf f 的矩阵乘法顺序写反；
  • 用不定积分后又额外保留重复常数；
  • 初值形式中把 Φ(t,τ)\Phi(t,\tau) 写成 Φ(τ,t)\Phi(\tau,t)；
  • 时变系统直接写 e∫Ae^{\int A}；
  • 算出一个特解后忘记加齐次通解；
  • 只做形式积分，没有检查 Φ\Phi 在区间上可逆。

最稳的验证是直接对最终公式求导：积分上限产生的 f(t)\mathbf f(t) 正好补回非齐次项。

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