第 15 讲：常系数系统、矩阵指数与 Jordan 结构

常系数齐次系统

\mathbf x'=A\mathbf x

的标准基解矩阵是 $e^{At}$ 。计算它的核心是理解矩阵 $A$ 的特征结构。

矩阵指数

定义

e^{At}=I+At+\frac{A^2t^2}{2!}+\cdots.

逐项求导可得

\frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At}=e^{At}A,\qquad e^{A0}=I.

因此

\mathbf x(t)=e^{A(t-t_0)}\mathbf x_0.

只有同一个常矩阵的指数具有 $e^{A(t+s)}=e^{At}e^{As}$ 。对一般不交换矩阵， $e^{A+B}$ 不等于 $e^Ae^B$ 。

若 $A=P\Lambda P^{-1}$ ，其中

\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),

则

e^{At}=Pe^{\Lambda t}P^{-1},\qquad e^{\Lambda t}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\dots,e^{\lambda_nt}).

等价地，每个特征对 $A\mathbf v_i=\lambda_i\mathbf v_i$ 给出解

\mathbf x_i(t)=e^{\lambda_i t}\mathbf v_i.

凑齐 $n$ 个线性无关特征向量即可组成基解矩阵。

实矩阵若有 $\lambda=\alpha+i\beta$ 和复特征向量 $\mathbf v=\mathbf p+i\mathbf q$ ，复解

e^{(\alpha+i\beta)t}(\mathbf p+i\mathbf q)

的实部、虚部分别给两个实解：

e^{\alpha t}(\mathbf p\cos\beta t-\mathbf q\sin\beta t),

e^{\alpha t}(\mathbf p\sin\beta t+\mathbf q\cos\beta t).

$\alpha$ 控制收缩或膨胀， $\beta$ 控制旋转频率。

对 Jordan 块

J=\lambda I+N,\qquad N^m=0,

由于 $\lambda I$ 与 $N$ 交换，

e^{Jt}=e^{\lambda t}e^{Nt} =e^{\lambda t} \left(I+tN+\frac{t^2N^2}{2!}+\cdots+ \frac{t^{m-1}N^{m-1}}{(m-1)!}\right).

若广义特征向量链满足

(A-\lambda I)\mathbf v_1=0,\qquad (A-\lambda I)\mathbf v_2=\mathbf v_1,

则对应解含

e^{\lambda t}\mathbf v_1,\qquad e^{\lambda t}(t\mathbf v_1+\mathbf v_2).

这与标量常系数方程重根产生 $te^{\lambda t}$ 完全对应。

二维线性系统的稳定结点、鞍点、螺旋汇和不稳定结点

对 $2\times2$ 实矩阵：

旋转方向需在某个简单点代入向量场判断，不能只从特征值看出。

变换后

\mathbf X(s)=(sI-A)^{-1}\mathbf x_0

说明

\mathcal L\{e^{At}\}=(sI-A)^{-1}.

小规模系统可通过求逆、部分分式得到每个分量；这也是课件中把 Laplace 变换应用到方程组的路线。