第 16 讲：几何解释与解的存在唯一性

并不是每个微分方程都能写出初等解。定性理论先回答更基本的问题：过给定点是否有解？是不是只有一条？解能存在多久？

线素场的几何含义

方程

y'=f(x,y)

在区域 $G$ 的每一点指定一个斜率。解曲线是处处与该线素场相切的积分曲线。

若 $f$ 连续，方向随位置连续变化，局部上至少能沿某个方向走出一条曲线；若对 $y$ 的变化还能稳定控制，附近两条解就不能随意分叉。

若 $f$ 在初值点附近连续，则初值问题

y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0

局部至少有一个解。连续性保证存在，但不保证唯一。

例子

y'=3y^{2/3},\qquad y(0)=0

有零解，也可先在一段时间停留于零，再沿 $(x-c)^3$ 离开，说明连续右端仍可能产生多个解。

若在矩形区域 $R$ 中

|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\le L|y_1-y_2|,

称 $f$ 关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件。若 $f$ 连续且对 $y$ 局部 Lipschitz，则初值问题局部存在唯一解。

常用充分条件是 $f_y$ 在矩形内连续或有界，因为中值定理给出 Lipschitz 估计。 $f_y$ 不连续不自动意味着不唯一，只是这个方便的充分条件不能直接用。

设矩形

R:|x-x_0|\le a,\quad |y-y_0|\le b,

且 $|f(x,y)|\le M$ 。为了让解图像不在到达左右边界前冲出上下边界，可取

h\le\min\left(a,\frac bM\right).

定理保证至少在 $|x-x_0|\le h$ 上存在解。这个 $h$ 是保守下界，不一定是最大存在区间。

初值问题等价于

y(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,y(t))dt.

令 $y_0(x)\equiv y_0$ ，迭代

y_{n+1}(x)=y_0+ \int_{x_0}^{x}f(t,y_n(t))dt.

在适当小区间上，Lipschitz 条件使这个映射成为压缩，迭代一致收敛到唯一不动点，也就是唯一解。

这套证明同时解释：

在满足唯一性条件的区域中：

若图上出现解曲线在一点分叉，说明该点附近的唯一性条件失效，而不是普通平滑方向场中的正常现象。