第 17 讲：解的延拓、比较、奇解与连续依赖

局部存在唯一只说明能从初值点走一小段。接下来要问：能否继续走？最大解为什么会终止？初值和参数有小变化时，整条解会怎样变化？

延拓与最大解

若解 $y=\varphi(x)$ 已定义在某区间，且在端点附近仍留在方程右端定义良好、满足局部存在唯一条件的区域内，就可以以靠近端点的新点为初值继续延拓。

把所有相容的局部解拼接起来，得到包含原初值的最大解，其定义区间称为最大存在区间。

最大解在有限端点无法继续，通常因为：

1. $(x,y(x))$ 接近右端定义域边界；
2. $|y(x)|\to\infty$，有限时间爆炸；
3. 进入右端不再连续或不再满足所需条件的奇点。

例如

$$y'=y^2,\qquad y(0)=1$$

解为 $y=1/(1-x)$，在 $x=1$ 爆炸，所以不能延拓过该点，尽管方程右端 $y^2$ 在整个平面光滑。

全局存在的控制思路

要证明解能在给定区间继续，核心是排除有限时间逃到无穷。若能得到

$$|f(x,y)|\le a(x)+b(x)|y|$$

这样的线性增长界，再用 Grönwall 不等式控制 $|y(x)|$，通常可推出有限区间内不会爆炸。

“右端全局连续”本身不够；还需要增长控制或其他先验界。

比较定理

若 $u,v$ 满足适当微分不等式，例如

$$u'(x)\le f(x,u),\qquad v'(x)=f(x,v),\qquad u(x_0)\le v(x_0),$$

并且 $f$ 满足保证唯一性和保序的条件，则可推出在共同区间上 $u(x)\le v(x)$。

比较的用途：

• 用容易求解的上、下方程夹住未知解；
• 证明解有界或爆炸；
• 判断平衡解稳定性；
• 不求显式解就估计达到某阈值的时间。

应用前必须对齐初值和不等号方向，不能只比较右端大小。

奇解与唯一性边界

奇解常是通解族的包络，出现在导数分支合并或唯一性条件失效的位置。由

$$F(x,y,p)=0,\qquad F_p(x,y,p)=0$$

得到的判别曲线只是候选；仍要验证满足原方程且不属于固定参数的通解成员。

从定性角度看，若普通解可在某点与奇解相切后选择“贴住”或“离开”，就出现非唯一拼接，这与右端未满足 Lipschitz 条件相呼应。

对初值的连续依赖

设 $y(x;x_0,y_0)$ 表示初值问题的解。在共同紧区间内，若 $f$ 连续且关于 $y$ 局部 Lipschitz，则初值 $(x_0,y_0)$ 的小扰动会导致解的一致小扰动。

粗略地，两解之差满足

$$|y_1(x)-y_2(x)| \le |y_{01}-y_{02}| +L\int_{x_0}^{x}|y_1(t)-y_2(t)|dt,$$

由 Grönwall 不等式

$$|y_1(x)-y_2(x)| \le |y_{01}-y_{02}|e^{L|x-x_0|}.$$

它说明有限时间内误差至多按指数放大；并不等于长期误差永远小。

对参数的连续与可微依赖

对

$$y'=f(x,y,\lambda),\qquad y(x_0)=y_0(\lambda),$$

若 $f$ 对各变量满足相应连续和 Lipschitz 条件，则解随参数 $\lambda$ 连续变化。若 $f$ 对 $y,\lambda$ 还有连续偏导，可对参数求导。

令

$$z=\frac{\partial y}{\partial\lambda},$$

沿原解得到变分方程

$$z'=f_y(x,y,\lambda)z+f_\lambda(x,y,\lambda),$$

初值为 $z(x_0)=y_0'(\lambda)$。它把“解对参数有多敏感”化成一个线性方程。

全章关系

• 存在定理：至少有路可走；
• 唯一定理：路不会在同一点分叉；
• 延拓定理：只要不撞边界、不爆炸，就能继续走；
• 比较定理：用已知道路给未知道路设护栏；
• 连续依赖：起点或参数轻微改变，有限区间内轨迹也只轻微改变。

这些结论不要求显式求解，却决定了数值计算、建模和稳定性分析是否可信。