第 1 讲：基本概念、方向场与建模

微分方程描述的是“状态怎样变化”，不是直接给出状态本身。求解就是从变化规律和附加条件恢复一条或一族可能的演化轨迹。

基本术语

含未知函数及其导数的关系称为微分方程。最高阶导数的阶数叫方程的阶。例如

y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)

是二阶常微分方程；未知函数只依赖一个自变量，所以是“常”微分方程。

函数 y=φ(x)y=\varphi(x) 若在某区间内代入后恒等满足方程，就是该区间上的解。需要同时说明定义区间，因为同一公式可能在穿过奇点后不再成立。

通解、特解和初值问题

nn 阶方程的通解通常含 nn 个彼此独立的任意常数；给定 nn 个合适的初始条件后可确定一个特解。例如

y′=2x⟹y=x2+C,y'=2x\quad\Longrightarrow\quad y=x^2+C,

加上 y(0)=1y(0)=1 得 y=x2+1y=x^2+1。

初值问题写成

y′=f(x,y),y(x0)=y0.y'=f(x,y),\qquad y(x_0)=y_0.

边值问题则在不同自变量位置指定条件。边值问题可能没有解、有多个解；不能把初值问题的唯一性结论直接照搬。

显式、隐式和参数式解

解可以是显式 y=φ(x)y=\varphi(x)，也可以是隐式关系

F(x,y)=C.F(x,y)=C.

隐式解不必强行解出 yy。只要在相应分支上可微，且隐式求导后满足原方程，它就是有效解。若用参数 x=x(t),y=y(t)x=x(t),y=y(t) 描述，也要检查 dx/dt≠0dx/dt\ne0 处

dydx=dy/dtdx/dt\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}

满足原方程。

方向场与积分曲线

对 y′=f(x,y)y'=f(x,y)，平面中每一点 (x,y)(x,y) 都给出斜率 f(x,y)f(x,y)。在点附近画一小段具有该斜率的线段，得到方向场；解曲线必须处处与这些线段相切。

微分方程的方向场与由不同初值选出的积分曲线

方向场不需要显式解就能回答：

  • 解在什么区域递增或递减；
  • 哪些直线 f(x,y)=0f(x,y)=0 上切线水平；
  • 不同初值解是否可能相交；
  • 解是否趋向平衡状态。

若满足唯一性条件，两条不同初值解不能在同一点相交；否则从交点出发会有两个解，违背唯一性。

从守恒或平衡建模

混合问题

设容器中溶质总量为 Q(t)Q(t)，体积为 V(t)V(t)。基本平衡是

Q′=流入速率×流入浓度−流出速率×QV.Q'=\text{流入速率}\times\text{流入浓度} -\text{流出速率}\times\frac{Q}{V}.

“充分搅拌”才允许把流出浓度写成 Q/VQ/V。若流入、流出流量不同，V(t)V(t) 也要随时间更新，并限制在容器未空或未溢出的时间区间。

RLC 电路

由 Kirchhoff 电压定律，串联 RLC 电路满足

Lq′′+Rq′+1Cq=E(t),Lq''+Rq'+\frac1Cq=E(t),

其中 qq 是电荷，q′q' 是电流。它是二阶线性方程；电阻对应阻尼，电感和电容储能，外电压是驱动项。

单摆

长度 ll 的理想单摆满足

θ′′+glsin⁡θ=0.\theta''+\frac gl\sin\theta=0.

小角度时用 sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta，得到线性近似

θ′′+glθ=0.\theta''+\frac gl\theta=0.

必须注明这是小振幅近似；非线性原方程的周期通常依赖振幅。

建模检查

  1. 明确未知量、单位和自变量；
  2. 写出守恒、受力或电路平衡；
  3. 每个流率都分清流入和流出符号；
  4. 写初值及模型有效区间；
  5. 线性化时说明近似条件；
  6. 求解后检查量纲、初值和长期趋势。

模型不是方程写出来就结束。解若预测浓度为负、体积超过容器或小角度近似下角度无限增大，都提示需要重新审视适用范围。

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