📁 知识点
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第 1 讲：代数运算，以及群、环、域的入口
从封闭运算出发，理解群、环、域究竟分别保留了哪些能力。
第 2 讲：子群、元素的阶与循环群
用一个判据识别子群，并掌握循环群的生成元和全部子群。
第 3 讲：变换群、置换群与交错群
把置换拆成不交循环，用循环型、阶和奇偶性完成计算。
第 4 讲：陪集、Lagrange 定理与 Sylow 定理
从陪集等分有限群，进一步理解素数幂阶子群为什么一定存在。
第 5 讲：群作用、轨道、稳定子与共轭
把对称变换变成群作用，并用轨道—稳定子公式组织计数与证明。
第 6 讲：正规子群、商群与同态定理
解释为什么只有正规子群能取商，并用核与像识别同构。
第 7 讲：Burnside 引理与对称计数
通过不动点平均数计算轨道数，并分清项链与手镯的对称群。
第 8 讲：域、特征与单代数扩张
理解素域、最小多项式和商环如何构造域扩张。
第 9 讲：环、子环、环同态与理想
区分子环和理想，并理解理想为何是取商时真正需要的结构。
第 10 讲：素理想、极大理想与商结构
用商环是否为整环或域，快速判断素理想与极大理想。
第 11 讲：多项式、因子分解与中国剩余定理
从不可约多项式、唯一分解走到理想版中国剩余定理。
第 12 讲：有限域、不可约多项式与周期
构造有限域，并用不可约多项式的周期判断本原性。
第 13 讲：线性反馈移位寄存器与本原多项式
把有限域多项式与二进制线性递推、最长周期序列连接起来。