第 11 讲：多项式、因子分解与中国剩余定理

在整环 $R$ 中，单位、不可约元和素元需要分清。不可约元不能分成两个非单位；素元则满足 $p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ 或 $p\mid b$ 。素元一定不可约，反向要在唯一分解整环等较好环境中才成立。

两个元素若只差一个单位因子，称为相伴。例如在 $\mathbb Z$ 中 $2$ 与 $-2$ 相伴；在 $F[x]$ 中两个非零常数倍的多项式相伴。因此所谓“分解唯一”，总是指忽略因子次序和相伴差异后的唯一。

常见结构强弱关系是

\text{Euclid 整环} \Longrightarrow \text{主理想整环} \Longrightarrow \text{唯一分解整环}.

$\mathbb Z$ 与 $F[x]$ 都是 Euclid 整环；一般的 $R[x]$ 未必。

域上的多项式环 $F[x]$ 可做带余除法和 Euclid 算法，因此是主理想整环，也是唯一分解整环。判断低次多项式不可约时：二次或三次多项式不可约，当且仅当在 $F$ 中没有根；高次没有根仍可能分解成两个二次因子。

几个常用判别入口：

有理根定理：整系数首一多项式的有理根只能是常数项的整数因子；
模素数约化：首一整系数多项式模某个素数后若仍不可约，则它在 $\mathbb Q[x]$ 中不可约；
Eisenstein 判别：若某素数 $p$ 整除除首项外全部系数， $p^2$ 不整除常数项，且 $p$ 不整除首项，则多项式在 $\mathbb Q[x]$ 中不可约。

例如 $x^3-2$ 对 $p=2$ 满足 Eisenstein 条件，所以在 $\mathbb Q[x]$ 中不可约。反过来，判别条件不满足只表示“此法没判出来”，不等于多项式可约。

多项式 Euclid 算法与整数情形完全同构。若

f=qg+r, \qquad \deg r<\deg g,

反复做带余除法可求最大公因式；回代可得 Bézout 等式

uf+vg=\gcd(f,g).

中国剩余定理

若理想 $I,J$ 互素，即 $I+J=R$ ，则 $I\cap J=IJ$ 。若 $I_1,\ldots,I_n$ 两两互素，映射

R\to\bigoplus_iR/I_i,\qquad r\mapsto(r+I_1,\ldots,r+I_n)

是满同态，核为 $\bigcap_iI_i$ ，从而

R/\bigcap_iI_i\cong\bigoplus_iR/I_i.

整数环里 $(m)+(n)=\mathbb Z$ 等价于 $\gcd(m,n)=1$ 。多项式环里则把整数的扩展 Euclid 原样换成多项式扩展 Euclid。

“两两互素”不能偷换成“所有理想加起来等于 $R$ ”。中国剩余定理需要任意两项都满足 $I_i+I_j=R$ ，这样才能分别造出在一个分量为 $1$ 、其他分量为 $0$ 的元素。

对两两互素的 $m_i$ ，先设 $M=\prod m_i$ 、 $M_i=M/m_i$ ，求 $u_iM_i\equiv1\pmod{m_i}$ ，则

x\equiv\sum_i a_iM_iu_i\pmod M.

公式不是必须背；其本质是为每个模数造一个“在这里等于 1、在其他地方等于 0”的基函数。

解

x\equiv2\pmod3, \qquad x\equiv3\pmod5.

取 $M=15$ 。对模 $3$ 的分量， $M_1=5$ ，且 $5^{-1}\equiv2\pmod3$ ；对模 $5$ 的分量， $M_2=3$ ，且 $3^{-1}\equiv2\pmod5$ 。因此

x\equiv2\cdot5\cdot2 +3\cdot3\cdot2 =38\equiv8\pmod{15}.

检查： $8$ 除以 $3$ 余 $2$ ，除以 $5$ 余 $3$ 。所有解组成模 $15$ 的同一个剩余类。

若 $f,g\in F[x]$ 互素，则

F[x]/(fg) \cong F[x]/(f)\oplus F[x]/(g).

它让“模一个可分解多项式计算”拆成多个较小商环中的计算；若因子都不可约，每个分量还是域。