第 10 讲：素理想、极大理想与商结构

在含幺交换环 $R$ 中，真理想 $P$ 是素理想，若 $ab\in P$ 总能推出 $a\in P$ 或 $b\in P$ ；真理想 $M$ 是极大理想，若它与 $R$ 之间没有别的理想。

“真理想”表示 $P\ne R$ 。这个限制不能省，否则 $R/R$ 是零环，不是整环也不是通常意义下的域。极大的意思是按包含关系极大，而不是元素个数最大。

最实用的等价条件是

P\text{ 素}\Longleftrightarrow R/P\text{ 是整环},

M\text{ 极大}\Longleftrightarrow R/M\text{ 是域}.

所以极大理想一定是素理想，反向一般不成立。例如 $(0)$ 是 $\mathbb Z$ 的素理想，但不是极大理想。

以第一条为例，在商环中

(a+P)(b+P)=P \quad\Longleftrightarrow\quad ab\in P.

如果 $P$ 是素理想，这会迫使 $a+P=P$ 或 $b+P=P$ ，即商环没有零因子。反过来若商环无零因子，同一推理倒过来就得到素理想定义。

第二条也可直接理解： $R/M$ 中的理想与包含 $M$ 的 $R$ 的理想一一对应。若 $M$ 极大，商环只剩零理想和整个环两个理想；对交换含幺环而言，这等价于它是域。

在 $F[x]$ 与 $\mathbb Z$ 中

对域 $F$ ，非恒定多项式 $f$ 满足

(f)\text{ 极大}\Longleftrightarrow (f)\text{ 素} \Longleftrightarrow f\text{ 不可约}.

在 $\mathbb Z$ 中， $(n)$ 极大当且仅当 $|n|$ 是素数；此时 $\mathbb Z/(n)=\mathbb F_n$ 。

更完整地说：

在 $F[x]$ 中也完全类似，只是“素数”换成“不可约多项式”。例如

\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C,

故 $(x^2+1)$ 是 $\mathbb R[x]$ 的极大理想；而在 $\mathbb C[x]$ 中 $x^2+1$ 可分解，所以同名理想不再是素理想。不可约性必须相对于系数域判断。

先找出不同陪集，再以代表元相加、相乘并化回代表元。例如 $\mathbb Z_6/(2)$ 只有两个陪集，等价于 $\mathbb Z_2$ 。不要把“理想里的元素个数”误当成“商环元素个数”；有限情形应使用 $|R/I|=|R|/|I|$ 。

这里 $(2)$ 表示 $\mathbb Z_6$ 中由 $[2]$ 生成的理想

(2)=\{[0],[2],[4]\}.

两个陪集可取 $(2)$ 与 $[1]+(2)$ 。因为商环同构于域 $\mathbb Z_2$ ，也能反推 $(2)$ 是极大理想。