第 9 讲：环、子环、环同态与理想

验证 $S\subseteq R$ 是子环，通常检查非空、对减法和乘法封闭。理想 $I$ 除了是加法子群，还要求能吸收整个环的乘法：

r\in R, a\in I\Longrightarrow ra,ar\in I.

因此理想一定是子环，但子环通常不是理想。例如 $\mathbb Z\subset\mathbb Q$ 是子环，却不是 $\mathbb Q$ 的理想，因为 $(1/2)\cdot1\notin\mathbb Z$ 。

子环只要求“内部运算不跑出去”；理想则要求即使拿整个大环的元素从外面来乘，也仍留在其中。这一额外吸收性，正是商环乘法能良定义的原因。

在非交换环中要区分左理想、右理想和双边理想：

rI\subseteq I, \qquad Ir\subseteq I.

课程写 $I\trianglelefteq R$ 时通常指双边理想。交换环里两边没有区别。

$\mathbb Z$ 的理想

任取非零理想 $I\subseteq\mathbb Z$ ，设其中最小正整数为 $n$ 。对任意 $a\in I$ 做带余除法 $a=qn+r$ ，其中 $0\le r<n$ 。因为 $r=a-qn\in I$ ，最小性迫使 $r=0$ ，故 $a$ 都是 $n$ 的倍数。于是

I=n\mathbb Z=(n).

所以 $\mathbb Z$ 的全部理想恰是 $(0),(1),(2),\ldots$ 。

环同态保持加法和乘法；课程约定含幺环同态还保持 $1$ 。它的核是理想，像是子环。若 $I\trianglelefteq R$ ，商集 $R/I$ 以

(a+I)+(b+I)=a+b+I,\qquad (a+I)(b+I)=ab+I

成为环。同态基本定理为

R/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi.

最常见的理想来自评价同态。例如连续函数环 $C[0,1]$ 中， $\operatorname{ev}_c(f)=f(c)$ 的核是所有在 $c$ 处为零的函数。因为评价同态满射到 $\mathbb R$ ，这个核的商环同构于 $\mathbb R$ ，故它是极大理想。

多项式评价同样重要。固定 $a\in F$ ，映射

\operatorname{ev}_a:F[x]\to F, \qquad f(x)\mapsto f(a)

的核为 $(x-a)$ 。同态基本定理给出

F[x]/(x-a)\cong F.

这个结论把“模 $x-a$ 取余”与“代入 $a$ ”统一起来，因为余式定理本来就说余数是 $f(a)$ 。

交换环中由 $a$ 生成的主理想为 $(a)=\{ra:r\in R\}$ 。在 $\mathbb Z$ 中每个理想都是 $(n)$ ；在域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 中每个理想也是主理想。一般环则未必。

多个元素生成的理想记为

(a_1,\ldots,a_k) =\left\{r_1a_1+\cdots+r_ka_k:r_i\in R\right\}.

在 $\mathbb Z$ 中， $(m,n)=(\gcd(m,n))$ ；例如 $(6,15)=(3)$ 。这正是 Bézout 等式的理想写法。

若 $I,J\trianglelefteq R$ ，则

I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\},

交 $I\cap J$ 仍是理想，而积 $IJ$ 是所有有限和 $\sum a_ib_i$ 组成的理想。一般有

IJ\subseteq I\cap J,

当 $I+J=R$ 时二者相等，这会在中国剩余定理中使用。

在 $\mathbb Z_{12}$ 中，理想

([4])=\{[0],[4],[8]\}

是模 $4$ 映射 $\mathbb Z_{12}\to\mathbb Z_4$ 的核，所以

\mathbb Z_{12}/([4])\cong\mathbb Z_4.

商环元素是四个陪集，而不是理想中的三个元素。计算商结构大小时，先数陪集，不要把分母的大小直接当答案。