第 4 讲：陪集、Lagrange 定理与 Sylow 定理

对子群 $H\le G$ ，左陪集 $gH$ 与右陪集 $Hg$ 都与 $H$ 等势。不同左陪集要么相同、要么不交，因此它们把 $G$ 分块。有限群中便有

|G|=[G:H]|H|.

这就是 Lagrange 定理。它给出必要条件，但不是充分条件： $d\mid|G|$ 并不保证总有 $d$ 阶子群。

两个左陪集何时相等，有一个实用判据：

g_1H=g_2H \quad\Longleftrightarrow\quad g_2^{-1}g_1\in H.

特别地， $gH=H$ 当且仅当 $g\in H$ 。陪集本身通常不是子群：若 $g\notin H$ ，则 $e\notin gH$ ，已经缺少群的幺元。

一个具体分块

在加法群 $\mathbb Z_{12}$ 中取

H=\langle[4]\rangle=\{[0],[4],[8]\}.

四个陪集是

H, \quad[1]+H, \quad[2]+H, \quad[3]+H,

每个都有 $3$ 个元素，于是 $[\mathbb Z_{12}:H]=4$ ，并验证

12=4\times3.

从 Lagrange 定理立刻得到：有限群中元素阶整除群阶；任意 $a\in G$ 都满足 $a^{|G|}=e$ ；素数阶群必为循环群。注意这些仍都是“存在某元素以后”的结论，不能把整除关系倒过来用。

若素数 $p\mid|G|$ ，Cauchy 定理保证 $G$ 中存在 $p$ 阶元素。把它推广到最大素数幂：若

|G|=p^km,\qquad p\nmid m,

则 $G$ 存在 $p^k$ 阶子群，称为 Sylow $p$ -子群。Sylow 定理还说：

当这两个条件迫使 $n_p=1$ 时，那个 Sylow 子群唯一，因而正规。很多小阶群结构题就是依次对每个素因子做这一步。

设 $|G|=21=3\cdot7$ 。Sylow 定理给出

n_7\mid3, \qquad n_7\equiv1\pmod7.

唯一可能是 $n_7=1$ ，所以 $7$ 阶 Sylow 子群正规。另一方面

n_3\mid7, \qquad n_3\equiv1\pmod3,

故 $n_3=1$ 或 $7$ 。仅靠这一步还不能直接断言全部结构；要继续结合正规子群、共轭作用或同态论。

若 $|G|=12=2^2\cdot3$ ，则

n_3\mid4, \qquad n_3\equiv1\pmod3,

所以 $n_3=1$ 或 $4$ 。若 $n_3=1$ ，唯一的 Sylow $3$ -子群正规；若 $n_3=4$ ，四个 $3$ 阶子群除幺元外互不相交，共占

1+4\times(3-1)=9

个元素。剩余元素数会强烈限制 Sylow $2$ -子群的分布。这种“先数不同 Sylow 子群占了多少元素”的方法，是小阶群题的常用下一步。