第 5 讲：群作用、轨道、稳定子与共轭

群作用是映射 $G\times X\to X$ ，满足 $e\cdot x=x$ 和 $(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)$ 。它把抽象群元素解释成对集合的对称变换。

等价地，每个 $g\in G$ 都给出一个置换

\rho_g:X\to X, \qquad x\mapsto g\cdot x,

并且 $g\mapsto\rho_g$ 是同态 $G\to S_X$ 。所以“给出一个群作用”和“给出一个从 $G$ 到某个置换群的同态”是同一件事。

几个常用形容词：

忠实与自由不同。正方形对四个顶点的对称作用是忠实的，但过一对顶点的反射会固定两个顶点，所以并不自由。

对 $x\in X$ ，轨道 $Gx$ 是从 $x$ 能走到的全部位置，稳定子 $G_x$ 是把 $x$ 留在原处的全部群元素。映射 $gG_x\mapsto g\cdot x$ 给出双射，故有限情形

|Gx|=[G:G_x].

轨道把 $X$ 划分成互不相交的等价类。作用传递，就是只有一个轨道。

双射为什么良定义？若 $g_1G_x=g_2G_x$ ，则 $g_2^{-1}g_1\in G_x$ ，于是

g_1\cdot x =g_2(g_2^{-1}g_1)\cdot x =g_2\cdot x.

反向也成立。因此轨道中的一个位置，对应稳定子的一个左陪集。这就是轨道—稳定子公式的本质，而不只是一个需要背的除法公式。

正方形顶点上的例子

令二面体群 $D_4$ 作用在正方形四个顶点上。作用传递，所以任一顶点的轨道大小为 $4$ 。 $|D_4|=8$ ，故

|(D_4)_v|=\frac{|D_4|}{|D_4v|}=2.

固定顶点 $v$ 的两个对称正是恒等变换，以及穿过 $v$ 和对顶点的那次反射。

群对自身左乘时，稳定子都是平凡群，这个作用直接导出 Cayley 定理。群对自身共轭时， $g\cdot x=gxg^{-1}$ ：轨道是 $x$ 的共轭类，稳定子是中心化子

C_G(x)=\{g\in G:gx=xg\}.

于是 $|\operatorname{Cl}(x)|=[G:C_G(x)]$ 。若正规子群 $N$ 作用在传递 $G$ -集上，因为 $N\trianglelefteq G$ ，不同 $N$ -轨道会被 $G$ 相互搬运，所以轨道长度相同。这正是往年证明题的核心。

共轭作用还给出类方程。中心

Z(G)=\{x\in G:gx=xg\text{ 对所有 }g\in G\}

中的元素各自形成单点共轭类；其余共轭类大小为 $[G:C_G(x_i)]$ ，所以

|G|=|Z(G)|+ \sum_i[G:C_G(x_i)].

若 $|G|=p^n$ 是素数幂，每个非中心共轭类大小都被 $p$ 整除，于是类方程推出 $p\mid|Z(G)|$ ，特别地 $Z(G)$ 不平凡。这是分析有限 $p$ -群的第一把工具。