第 1 讲：代数运算，以及群、环、域的入口

抽象代数不是把数字换成字母，而是暂时忘掉对象“长什么样”，只保留运算规律。一个集合 $S$ 上的二元运算是映射

\circ:S\times S\longrightarrow S, \qquad (a,b)\longmapsto a\circ b.

箭头终点仍是 $S$ ，已经把“封闭”写进了定义。普通减法是 $\mathbb Z$ 上的二元运算，却不是 $\mathbb N$ 上的二元运算，因为 $2-3\notin\mathbb N$ 。除法也不是 $\mathbb R$ 上的二元运算：第二个数取 $0$ 时没有结果。

运算与集合必须一起看。同一个“加法”，放在 $\mathbb Z$ 、 $\mathbb Z_n$ 或矩阵集合上，会形成不同的代数系统。

从半群一路加条件

只要求结合律的是半群；再有幺元的是幺半群。群是在幺半群上继续要求每个元素都有逆元：

(ab)c=a(bc),\qquad ea=ae=a, \qquad aa^{-1}=a^{-1}a=e.

这条层次链很适合检查定义题：缺哪条公理，就停在哪一层。比如正整数关于加法满足结合律，却没有加法幺元 $0$ ，所以只是半群；非负整数关于加法有 $0$ ，但正数没有加法逆元，所以是幺半群而不是群。

群 $(G,\cdot)$ 要求结合律、幺元和每个元素的逆元。运算若还交换，就是交换群。整数关于加法是群；非零实数关于乘法是群；整数关于乘法不是群，因为大多数整数没有乘法逆元。

环 $(R,+,\cdot)$ 要求 $(R,+)$ 是交换群，乘法满足结合律，并对加法分配。课程主要讨论含单位元的环，但乘法不必交换，也不要求非零元都有逆。例如 $M_n(F)$ 是非交换环。

域 $F$ 是含单位元的交换环，并且每个非零元都有乘法逆元。等价地， $(F,+)$ 与 $(F^\times,\cdot)$ 都是交换群，乘法对加法分配。

可以把三者的关系记成：

\text{域} \Longrightarrow \text{交换、含幺且非零元可逆的环} \Longrightarrow \text{环},

而每个环的加法部分本身都是交换群。反向一般不成立： $\mathbb Z$ 是交换含幺环，但 $2$ 在其中没有乘法逆元； $M_2(\mathbb R)$ 是含幺环，但矩阵乘法不交换。

幺元和逆元都是唯一的，群中可以左右消去。环的加法可以消去，但乘法未必：若存在非零 $a,b$ 使 $ab=0$ ，它们就是零因子。域没有零因子，所以有限整环自动是域：对 $a\ne0$ ，映射 $x\mapsto ax$ 是有限集合上的单射，因而满射，必能命中 $1$ 。

以逆元唯一性为例，若 $b,c$ 都是 $a$ 的逆元，则

b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c.

这段三行证明展示了抽象代数常见的推理方式：每一步只使用公理，不依赖元素是数、矩阵还是置换。

群里的消去律同样来自逆元：若 $ab=ac$ ，左乘 $a^{-1}$ 便得 $b=c$ 。环的乘法没有普遍逆元，因此不能随意约去公共因子。比如在 $\mathbb Z_6$ 中

[2][1]=[2][4],

却有 $[1]\ne[4]$ 。

结合律保证一长串乘积不必标括号。由此可定义群中整数次幂，并有

a^ma^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn}.

但在非交换群或环里，通常不能把 $(ab)^n$ 拆成 $a^nb^n$ ；只有 $ab=ba$ 时才成立。这类“能不能像普通数那样算”的判断，是引论部分最常见的练习。

遇到“判断某集合在给定运算下是什么结构”，按下面顺序不会漏条件：

反例只需打掉一条必要公理；证明成立则必须把全部公理闭合。