第 3 周作业：一维稳定性与势函数

源作业覆盖教材 2.4.1、2.4.3、2.4.5、2.4.7、2.4.8、2.5.2、2.7.1、2.7.3 与 2.7.5。

线性稳定性练习

2.4.1：$\dot x=x(1-x)$

$x^*=0,1$，且 $f'(x)=1-2x$，所以 $0$ 不稳定、$1$ 稳定。

2.4.3：$\dot x=\tan x$

$x^*=k\pi$，且 $f'(k\pi)=\sec^2(k\pi)=1>0$，全部不稳定。解在每个被 $\pi/2+k\pi$ 分隔的区间内讨论。

2.4.5：$\dot x=1-e^{-x^2}$

唯一不动点是 $0$，但 $f'(0)=0$。因为 $x\ne0$ 时右端恒正，原点左侧吸引、右侧排斥，所以半稳定。

2.4.7：$\dot x=ax-x^3$

• $a<0$：只有原点，且 $f'(0)=a<0$，所以稳定；
• $a=0$：$\dot x=-x^3$，两侧箭头都指向原点；原点非双曲但稳定；
• $a>0$：有三个不动点

$$x^*=0,\qquad x^*=\pm\sqrt a.$$

此时 $f'(0)=a>0$，所以原点不稳定；而

$$f'(\pm\sqrt a)=a-3a=-2a<0,$$

所以两个非零不动点都稳定。$a=0$ 是超临界叉式分岔：原点失稳的同时产生两个稳定分支。

2.4.8：Gompertz 模型

$$\dot N=-aN\ln(bN),\qquad a,b>0.$$

物理域 $N>0$ 中唯一不动点为 $N^*=1/b$。因为

$$f'(N)=-a[\ln(bN)+1],\qquad f'(1/b)=-a<0,$$

所以它稳定。$N\to0^+$ 时虽有 $N\ln N\to0$，但 $N=0$ 是边界平衡状态，需用极限而不是直接代对数。

2.5.2：有限时间逃逸与比较

对

$$\dot x=1+x^2,\qquad x(0)=x_0,$$

显式解为

$$x(t)=\tan(t+\arctan x_0),$$

在有限时间 $t=\pi/2-\arctan x_0$ 发散。若另一系统满足 $\dot y\ge1+y^2$ 且同初值，可用比较原理说明它不晚于该时间逃逸。

势函数练习

一维系统的势函数满足 $V'=-f$。

2.7.1：$\dot x=x(1-x)$

$$V(x)=-\frac12x^2+\frac13x^3.$$

$x=0$ 为势垒，$x=1$ 为势阱，$V(1)=-1/6$。

2.7.3：$\dot x=\sin x$

可取

$$V(x)=\cos x.$$

偶数倍 $\pi$ 为局部极大，对应不稳定点；奇数倍 $\pi$ 为局部极小，对应稳定点。

2.7.5：$\dot x=-\sinh x$

可取

$$V(x)=\cosh x,$$

因为 $V'(x)=\sinh x=-f(x)$。原点是唯一不动点，也是 $\cosh x$ 的全局最低点；$x>0$ 时 $\dot x<0$，$x<0$ 时 $\dot x>0$，所以所有轨道都朝这个稳定势阱运动。势函数加减常数不影响结论，也可以写成 $\cosh x-1$。