第 2 周作业：不动点、相线与种群模型

源作业包括教材 2.2.1、2.2.3、2.2.5、2.2.6、2.2.10 与 2.3.4。下面按原题号重写。

2.2.1：$\dot x=4x^2-16$

不动点 $x^*=\pm2$。符号为“正—负—正”，所以 $-2$ 稳定、$2$ 不稳定。

分离变量：

$$\int\frac{dx}{4(x^2-4)}=t+C$$

给出

$$\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|=16t+C_1,$$

从而

$$x(t)=2\frac{1+Ce^{16t}}{1-Ce^{16t}}.$$

不同 $C$ 对应 $(-2,2)$ 内趋向 $-2$、$x>2$ 有限时间逃逸、$x<-2$ 向右趋向 $-2$ 等不同分支。

2.2.3：$\dot x=x-x^3$

$$f(x)=x(1-x^2)$$

给出不动点 $-1,0,1$。相线方向为

$$\rightarrow\ {-1}\ \leftarrow\ {0}\ \rightarrow\ {1}\ \leftarrow,$$

所以 $\pm1$ 稳定，$0$ 不稳定。对 $x^2$ 令 $u=x^2$，有

$$\dot u=2u(1-u),$$

可得到

$$x(t)=\operatorname{sgn}(x_0) \sqrt{\frac{1}{1+Ce^{-2t}}},$$

常数由初值决定。

2.2.5：$\dot x=1+\frac12\cos x$

因为

$$\frac12\le1+\frac12\cos x\le\frac32,$$

右端始终为正，没有不动点，所有轨道严格向右。

2.2.6：$\dot x=1-2\cos x$

不动点满足 $\cos x=1/2$：

$$x^*=2k\pi\pm\frac\pi3.$$

$f'(x)=2\sin x$，所以 $2k\pi-\pi/3$ 稳定，$2k\pi+\pi/3$ 不稳定。用半角代换可积分，源作业写出的解可整理为反正切形式；考试通常只要求相线与稳定性。

2.2.10：构造指定不动点结构

1. 任意实数都是不动点：$\dot x=0$；
2. 每个整数都是不动点且无其他不动点：$\dot x=\sin(\pi x)$；
3. 恰有三个不动点且都稳定：不可能。一维连续向量场中相邻双曲不动点稳定性必须交替；两个稳定点之间至少还要有一个不稳定点；
4. 没有不动点：$\dot x=e^x$；
5. 恰有 100 个不动点：

$$\dot x=\prod_{k=1}^{100}(x-k).$$

2.3.4：Allee 效应

模型为

$$\frac{\dot N}{N}=r-a(N-b)^2,$$

即

$$\dot N=N[r-a(N-b)^2],\qquad N\ge0.$$

其中 $a,r,b>0$。记

$$s=\sqrt{\frac ra}.$$

除 $N=0$ 外，还有

$$N_\pm=b\pm s.$$

$N_+$ 总是位于物理域内，而且

$$f'(N_+)=-2aN_+s<0,$$

所以它稳定，可看作承载水平。原点的稳定性由

$$f'(0)=r-ab^2=a(s^2-b^2)$$

决定，必须比较 $b$ 与 $s$：

1. $b>s$：$N_-=b-s>0$，且原点稳定、$N_-$ 不稳定、$N_+$ 稳定。$N_-$ 是正的灭绝阈值：初值低于它走向 $0$，高于它走向 $N_+$，这就是强 Allee 效应。

2. $b=s$：$N_-=0$ 与原点合并，原点非双曲。此时

   $$\dot N=aN^2(2b-N),$$

   所以从物理域右侧看，小的正种群会离开 $0$；这是阈值刚好降到零的临界情形，而 $N_+=2b$ 仍稳定。

3. $b<s$：$N_-<0$，已落到物理域外；原点不稳定，任意正初值都趋向稳定的 $N_+$。在 $N\ge0$ 上，相线结构与 logistic 模型相同，不再存在正的灭绝阈值。