第 1 周作业：一维流的精确解

源作业为教材练习 2.1.4，要求从隐式积分解出 $\dot x=\sin x$，并处理指定初值与一般初值。

题目

已知

$$\dot x=\sin x$$

的隐式解可写为

$$t=\ln\left| \frac{\csc x_0+\cot x_0}{\csc x+\cot x} \right|,$$

其中 $x(0)=x_0$。

1. 当 $x_0=\pi/4$ 时，证明

$$x(t)=2\arctan\frac{e^t}{1+\sqrt2},$$

并推出 $t\to\infty$ 时 $x(t)\to\pi$； 2. 对一般初值 $x_0$ 写出解。

解答

利用恒等式

$$\csc x+\cot x =\frac{1+\cos x}{\sin x} =\cot\frac x2,$$

隐式解化为

$$\cot\frac x2 =e^{-t}\cot\frac{x_0}{2}.$$

等价地

$$\tan\frac x2 =e^t\tan\frac{x_0}{2}.$$

因此在不跨越相邻不动点的连续分支上，

$$x(t)=2\arctan\left(e^t\tan\frac{x_0}{2}\right).$$

对 $x_0=\pi/4$，

$$\tan\frac\pi8=\sqrt2-1=\frac1{1+\sqrt2},$$

于是得到题目中的表达式。$t\to\infty$ 时反正切的自变量趋于 $+\infty$，所以 $x(t)\to\pi$。

分支与特殊初值

$x=k\pi$ 都是不动点，不能套入除以 $\sin x$ 后的公式；若 $x_0=k\pi$，解就是常数 $x(t)=k\pi$。

一般初值应先判断它位于哪个区间 $(k\pi,(k+1)\pi)$，再选择反正切分支。相线表明：

• $(2k\pi,(2k+1)\pi)$ 内 $\sin x>0$，轨道向右趋于 $(2k+1)\pi$；
• $((2k-1)\pi,2k\pi)$ 内 $\sin x<0$，轨道向左趋于 $(2k-1)\pi$。

这也说明偶数倍 $\pi$ 不稳定，奇数倍 $\pi$ 稳定。