第 4 周作业：四类一维分岔

源作业选取教材 3.2.1—3.2.4 与 3.4.1、3.4.3、3.4.5—3.4.8，目标是练习“解分支—判稳定—定类型”。

跨临界分岔组

3.2.1：$\dot x=rx+x^2$

分支 $x=0,-r$ 在 $r=0$ 相交并交换稳定性，是跨临界分岔。

3.2.2：$\dot x=rx-\ln(1+x)$

原点始终存在。展开

$$rx-\ln(1+x)=(r-1)x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),$$

临界值为 $r=1$，局部等价于跨临界正规形。

3.2.3：$\dot x=x-rx(1-x)$

$$\dot x=x[(1-r)+rx].$$

分支 $x=0$ 与 $x=1-1/r$ 在 $r=1$ 相交并交换稳定性，仍为跨临界分岔。

3.2.4：$\dot x=x(r-e^x)$

分支 $x=0$ 与 $x=\ln r$ 在 $r=1$ 相交并交换稳定性，跨临界分岔。

叉式分岔组

3.4.1：$\dot x=rx+4x^3$

非零分支 $x=\pm\sqrt{-r/4}$ 只在 $r<0$ 存在且不稳定；原点在 $r<0$ 稳定、$r>0$ 不稳定。因此 $r=0$ 为亚临界叉式分岔。

3.4.3：$\dot x=rx-4x^3$

非零分支 $x=\pm\sqrt{r/4}$ 在 $r>0$ 产生且稳定，原点同时失稳。因此是 $r=0$ 的超临界叉式分岔。

混合辨析组

3.4.5：$\dot x=r-3x^2$

$r>0$ 时有 $\pm\sqrt{r/3}$，一稳一不稳；$r<0$ 无根。$r=0$ 为鞍结分岔。

3.4.6：$\dot x=rx-\frac{x}{1+x}$

$$\dot x=x\left(r-\frac1{1+x}\right).$$

分支 $x=0$ 与 $x=1/r-1$ 在 $r=1$ 相交并交换稳定性，所以是跨临界分岔。

3.4.7：$\dot x=5-re^{-x^2}$

不动点要求

$$x^2=\ln\frac r5.$$

$r<5$ 无根，$r=5$ 在原点相切，$r>5$ 有一稳一不稳两个根，因此 $r=5$ 为鞍结分岔。

3.4.8：$\dot x=rx-\frac{x}{1+x^2}$

除原点外，

$$x^2=\frac1r-1.$$

非零分支在 $0<r<1$ 存在且不稳定，原点在 $r<1$ 稳定、$r>1$ 不稳定。因此 $r=1$ 是亚临界叉式分岔。

作图要求

每道题的分岔图都应：横轴参数、纵轴 $x^*$；稳定分支画实线，不稳定分支画虚线；标临界值。只写“跨临界/叉式”而不区分分支稳定性，不能算完整答案。