第 6 周作业：圆上的流

#作业

源作业为教材 4.1.1、4.1.2、4.1.4 与 4.1.6。

题目

完成教材 4.1.1、4.1.2、4.1.4 与 4.1.6：判断给定方程是否在圆周上定义良好的向量场，并求圆上不动点、判断稳定性和画出流向。

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4.1.1：什么时候 θ˙=sin⁡(aθ)\dot\theta=\sin(a\theta) 定义圆上向量场

圆上同一点可写成 θ\theta 或 θ+2kπ\theta+2k\pi。向量场必须满足

sin⁡[a(θ+2kπ)]=sin⁡(aθ)\sin[a(\theta+2k\pi)]=\sin(a\theta)

对所有整数 kk 成立。这要求 2πak2\pi ak 总是 2π2\pi 的整数倍，因此

a∈Z.a\in\mathbb Z.

若 aa 不是整数，给同一个圆周点选不同角度代表会得到不同速度，向量场没有良好定义。

4.1.2：θ˙=1+2cos⁡θ\dot\theta=1+2\cos\theta

不动点满足 cos⁡θ=−1/2\cos\theta=-1/2：

θ∗=2π3,4π3.\theta^*=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}.

f′=−2sin⁡θf'=-2\sin\theta，所以 2π/32\pi/3 稳定，4π/34\pi/3 不稳定。

4.1.4：θ˙=sin⁡3θ\dot\theta=\sin^3\theta

一周内只有两个不动点：

θ∗=0,π(mod2π).\theta^*=0,\pi\pmod{2\pi}.

它们都满足

f′(θ)=3sin⁡2θcos⁡θ=0,f'(\theta)=3\sin^2\theta\cos\theta=0,

所以都是非双曲点，不能用一阶线性化判稳定。直接看符号：(0,π)(0,\pi) 上 θ˙>0\dot\theta>0，(π,2π)(\pi,2\pi) 上 θ˙<0\dot\theta<0，圆周相线为

0 → θ˙>0  π ← θ˙<0  2π≡0.0\ \xrightarrow{\ \dot\theta>0\ }\ \pi\ \xleftarrow{\ \dot\theta<0\ }\ 2\pi\equiv0.

因此 0(mod2π)0\pmod{2\pi} 不稳定，π(mod2π)\pi\pmod{2\pi} 稳定。

4.1.6：θ˙=3+cos⁡2θ\dot\theta=3+\cos2\theta

因为

2≤3+cos⁡2θ≤4,2\le3+\cos2\theta\le4,

所以没有不动点，所有状态沿正方向持续旋转。源手写稿把这一题只记为“有两个解”，与题面方程不符；我按教材原题重新验算后，结论应为无不动点。

圆上作图提醒

将 00 与 2π2\pi 接起来；不能把它们画成两个独立端点。若所有不动点双曲，稳定点与不稳定点会沿圆周交替出现，这也是很好的自检。

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