第 4 周作业：四类一维分岔

#作业

源作业选取教材 3.2.1—3.2.4 与 3.4.1、3.4.3、3.4.5—3.4.8，目标是练习“解分支—判稳定—定类型”。

题目

完成教材 3.2.1—3.2.4 与 3.4.1、3.4.3、3.4.5—3.4.8：求不动点分支，判断各分支稳定性，识别分岔类型并按要求画出分岔图。

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跨临界分岔组

3.2.1：x˙=rx+x2\dot x=rx+x^2

分支 x=0,−rx=0,-r 在 r=0r=0 相交并交换稳定性，是跨临界分岔。

3.2.2：x˙=rx−ln⁡(1+x)\dot x=rx-\ln(1+x)

原点始终存在。展开

rx−ln⁡(1+x)=(r−1)x+x22+O(x3),rx-\ln(1+x)=(r-1)x+\frac{x^2}{2}+O(x^3),

临界值为 r=1r=1，局部等价于跨临界正规形。

3.2.3：x˙=x−rx(1−x)\dot x=x-rx(1-x)

x˙=x[(1−r)+rx].\dot x=x[(1-r)+rx].

分支 x=0x=0 与 x=1−1/rx=1-1/r 在 r=1r=1 相交并交换稳定性，仍为跨临界分岔。

3.2.4：x˙=x(r−ex)\dot x=x(r-e^x)

分支 x=0x=0 与 x=ln⁡rx=\ln r 在 r=1r=1 相交并交换稳定性，跨临界分岔。

叉式分岔组

3.4.1：x˙=rx+4x3\dot x=rx+4x^3

非零分支 x=±−r/4x=\pm\sqrt{-r/4} 只在 r<0r<0 存在且不稳定；原点在 r<0r<0 稳定、r>0r>0 不稳定。因此 r=0r=0 为亚临界叉式分岔。

3.4.3：x˙=rx−4x3\dot x=rx-4x^3

非零分支 x=±r/4x=\pm\sqrt{r/4} 在 r>0r>0 产生且稳定，原点同时失稳。因此是 r=0r=0 的超临界叉式分岔。

混合辨析组

3.4.5：x˙=r−3x2\dot x=r-3x^2

r>0r>0 时有 ±r/3\pm\sqrt{r/3}，一稳一不稳；r<0r<0 无根。r=0r=0 为鞍结分岔。

3.4.6：x˙=rx−x1+x\dot x=rx-\frac{x}{1+x}

x˙=x(r−11+x).\dot x=x\left(r-\frac1{1+x}\right).

分支 x=0x=0 与 x=1/r−1x=1/r-1 在 r=1r=1 相交并交换稳定性，所以是跨临界分岔。

3.4.7：x˙=5−re−x2\dot x=5-re^{-x^2}

不动点要求

x2=ln⁡r5.x^2=\ln\frac r5.

r<5r<5 无根，r=5r=5 在原点相切，r>5r>5 有一稳一不稳两个根，因此 r=5r=5 为鞍结分岔。

3.4.8：x˙=rx−x1+x2\dot x=rx-\frac{x}{1+x^2}

除原点外，

x2=1r−1.x^2=\frac1r-1.

非零分支在 0<r<10<r<1 存在且不稳定，原点在 r<1r<1 稳定、r>1r>1 不稳定。因此 r=1r=1 是亚临界叉式分岔。

作图要求

每道题的分岔图都应：横轴参数、纵轴 x∗x^*；稳定分支画实线，不稳定分支画虚线；标临界值。只写“跨临界/叉式”而不区分分支稳定性，不能算完整答案。

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