作业二 · 两阶段重复博弈中的合作

1. 找出一次博弈的纯策略 Nash 均衡

逐列找玩家 1 的最优反应、逐行找玩家 2 的最优反应，可以得到四个纯策略 Nash 均衡：

矩阵中的 $Y=(4,4)$ 对双方都很好，却不是一次博弈的 Nash 均衡。若对手选择 $Y$，单方改选 $X$ 可以把当期收益从 $4$ 提高到 $5$。

2. 为什么最后一轮仍然可以选择不同均衡

两阶段博弈的第二轮是最后一轮，所以每段历史之后都必须选择一次博弈的某个 Nash 均衡。这里一次博弈恰好有多个均衡，而且它们对两位玩家的收益分配不同，因此可以用来设计可信的奖励和惩罚。

构造如下纯策略：

• 第一轮双方都选择 $Y$；
• 若第一轮双方都遵守 $Y$，第二轮选择 $Z$；
• 若第一轮只有玩家 2 偏离，第二轮选择 $P$，让玩家 2 只得 $1/2$；
• 若第一轮只有玩家 1 偏离，第二轮选择 $Q$，让玩家 1 只得 $1/2$；
• 若第一轮双方都偏离，第二轮选择 $X$。

第二轮安排的 $X$、$Z$、$P$、$Q$ 全是一次博弈的 Nash 均衡，所以这些奖惩在相应子博弈中都是可信的。

3. 检查第一轮偏离

双方合作时，两轮总收益为

若某位玩家第一轮单独偏离，他最多先得到 $5$，第二轮受到定向惩罚，只得到 $1/2$，总收益为

因此没有人愿意在第一轮单独偏离，这组策略构成子博弈精炼 Nash 均衡，并在第一轮实现了非一次博弈均衡的结果 $Y=(4,4)$。

4. 加入折现因子

若第二轮收益乘以折现因子 $\delta$，合作收益为

偏离收益为

合作可持续的条件是

即

这道题说明：有限重复不等于一定无法合作。若一次博弈有多个 Nash 均衡，就可能用不同均衡构造可信的续局奖惩。