作业三 · 把贝叶斯博弈转成战略式

题目

作业三的贝叶斯博弈树

两位玩家都可能是强类型 $s$ 或弱类型 $w$ 。联合类型概率为

p_{ss}=0.3,\quad p_{sw}=0.3,\quad p_{ws}=0.2,\quad p_{ww}=0.2.

每位玩家知道自己的类型，但不知道对方类型；每种类型都要选择 $U$ 或 $D$ 。请把贝叶斯博弈转换为战略式，写出期望收益矩阵，并找出纯策略贝叶斯 Nash 均衡。

查看完整解答

纯策略必须规定该玩家在每一种可能类型下做什么。因此可以写成

UU,\ UD,\ DU,\ DD.

第一个字母表示强类型的行动，第二个字母表示弱类型的行动。例如 $UD$ 表示强类型选择 $U$ ，弱类型选择 $D$ 。

对任意策略组合，都要遍历四种类型状态，用联合概率加权。例如，先根据两人的策略确定在 $(s,s)$ 、 $(s,w)$ 、 $(w,s)$ 、 $(w,w)$ 下各自采取什么行动，再把四个状态的收益求期望。

完整的期望收益矩阵为：

玩家 1 \ 玩家 2	$UU$	$UD$	$DU$	$DD$
$UU$	$(-4,-4)$	$(-1.4,-2)$	$(-1.4,-3)$	$(1.2,-1)$
$UD$	$(-2.4,-2)$	$(-0.4,-0.6)$	$(-0.4,-1.8)$	$(1.6,-0.4)$
$DU$	$(-2.8,-1)$	$(-1.4,0.1)$	$(-1.4,-1.2)$	$(0,-0.1)$
$DD$	$(-1.2,1)$	$(-0.4,1.5)$	$(-0.4,0)$	$(0.4,0.5)$

在这个转换后的战略式矩阵中，按普通 Nash 均衡的方法找互为最优反应的格子，得到两个纯策略贝叶斯 Nash 均衡：

(UD,DD),

其期望收益为

(1.6,-0.4),

以及

(DD,UD),

其期望收益为

(-0.4,1.5).

这道题最容易错的地方，是把“行动”当成“策略”。在贝叶斯博弈中，玩家在行动时已经知道自己的类型，所以策略必须是从类型到行动的完整映射。