作业一 · 完整策略与 Nash 均衡

题目

作业一的动态博弈树

如果 $[L,(A,C)]$ 是 Nash 均衡， $[L,(A,D)]$ 是否一定也是 Nash 均衡？

图中玩家 1 先选择 $L$ 或 $R$ 。选择 $L$ 后，玩家 2 在左侧节点选择 $A$ 或 $B$ ；选择 $R$ 后，玩家 2 在右侧节点选择 $C$ 或 $D$ 。四个终点收益依次记为

a=(a_1,a_2),\quad b=(b_1,b_2),\quad c=(c_1,c_2),\quad d=(d_1,d_2).

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玩家 1 只有一个决策点，纯策略为 $L$ 或 $R$ 。玩家 2 有两个可能到达的决策点，因此一个完整策略必须同时规定：玩家 1 选择 $L$ 后做什么，以及玩家 1 选择 $R$ 后做什么。

所以玩家 2 的纯策略为

(A,C),\ (A,D),\ (B,C),\ (B,D).

$[L,(A,C)]$ 表示玩家 1 选择 $L$ ，玩家 2 在左侧节点选择 $A$ 、在右侧节点选择 $C$ 。同理， $[L,(A,D)]$ 只改变了玩家 2 在右侧路径外节点的行动。

在该策略组合下，结果停在 $L$ ，收益为 $a$ 。

玩家 1 若单独改选 $R$ ，玩家 2 按完整策略在右侧选择 $C$ ，结果到达 $c$ 。所以玩家 1 不偏离要求

a_1\ge c_1.

玩家 2 若把左侧行动从 $A$ 改成 $B$ ，结果会从 $a$ 变成 $b$ ，因此玩家 2 不偏离要求

a_2\ge b_2.

所以 $[L,(A,C)]$ 是 Nash 均衡的条件为

a_1\ge c_1,\qquad a_2\ge b_2.

现在玩家 1 偏离到 $R$ 后，玩家 2 会在右侧选择 $D$ ，所以玩家 1 不偏离的条件变为

a_1\ge d_1.

玩家 2 一侧仍需要

a_2\ge b_2.

因此两组策略的条件并不相同：已知 $a_1\ge c_1$ ，不能推出 $a_1\ge d_1$ 。

答案是：不一定。

例如取

a=(2,2),\quad b=(0,1),\quad c=(1,0),\quad d=(3,0).

此时 $a_1=2\ge c_1=1$ ，但 $a_1=2<d_1=3$ 。于是 $[L,(A,C)]$ 可以满足条件， $[L,(A,D)]$ 却不能。

如果改成 $d=(0,0)$ ，则 $a_1\ge c_1$ 和 $a_1\ge d_1$ 同时成立，两者都可能是 Nash 均衡。

这道题真正考的是：动态博弈中的策略必须写出路径外行动，而路径外行动可能改变另一位玩家偏离后的结果，因此不能把两个看起来走出同一路径的策略当成同一个策略。

若题目进一步要求子博弈精炼 Nash 均衡，还必须从最后的决策节点开始逆向归纳，检查路径外行动本身是否可信。