可观测性与最小实现

可观测性问：只看一段时间内的输入和输出，能否唯一推断系统的初始状态。某个内部模式若完全不影响输出，就像藏在传感器盲区里。

1. 定义

对

\dot x=Ax+Bu,\qquad y=Cx+Du,

若已知输入 $u(t)$ 和有限时间内的输出 $y(t)$ ，能唯一确定任意初始状态 $x(0)$ ，则系统完全可观测。

已知输入的影响可以从输出中扣除，因此判断可观测性时可令 $u=0$ ，研究

y(t)=Ce^{At}x(0).

可观测性是 $(A,C)$ 的性质，与 $B$ 无关。

2. Kalman 秩判据

构造可观矩阵

\mathcal O= \begin{bmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ \vdots\\ CA^{n-1} \end{bmatrix}.

系统可观测的充分必要条件是

\operatorname{rank}\mathcal O=n.

因为在 $t=0$ 附近，输出及其各阶导数包含 $Cx(0),CAx(0),\ldots$ 。这些行能独立区分全部状态方向时，初态才能唯一恢复。

3. 可观 Gramian

有限时间可观 Gramian：

W_o(T)=\int_0^T e^{A^Tt}C^TCe^{At}\,dt.

系统可观测当且仅当 $W_o(T)$ 正定。若某个方向 $x_0$ 满足

x_0^TW_o(T)x_0=0,

它在整个观察区间产生的输出能量为 0，因而不可观。

很小的 Gramian 特征值代表该状态虽然理论可观，但对噪声非常敏感，实际估计困难。

4. PBH 判据

系统可观测，当且仅当对 $A$ 每个特征值 $\lambda$ ：

\operatorname{rank} \begin{bmatrix} \lambda I-A\\ C \end{bmatrix}=n.

等价地，不存在非零右特征向量 $v$ 满足

Av=\lambda v,\qquad Cv=0.

也就是说，每个特征模式都必须在输出上留下痕迹。

5. 可控与可观的对偶性

系统 $(A,C)$ 可观测，当且仅当对偶系统

(A^T,C^T)

可控。因为对偶系统的可控矩阵正是 $\mathcal O^T$ 。

所以可控性的秩判据、PBH 判据、标准形和分解结论，经过转置就能得到可观测版本。这不是记忆巧合，而是线性代数上的同一个结构。

6. 可观标准形

可观标准形可视为可控标准形的对偶。若采用前文的伴随矩阵约定，可观标准形通常是对应可控标准形的转置，并由分子系数组成输入向量或输出向量。

不同教材的状态排序会让矩阵形式不同。最可靠的验证方法是：

计算特征多项式是否等于目标分母；
计算 $C(sI-A)^{-1}B+D$ 是否等于原传递函数；
检查可观矩阵是否满秩。

7. 可观分解

若 $\operatorname{rank}\mathcal O=r<n$ ，可用坐标变换把状态分成可观与不可观两部分。不可观状态无论怎样变化，都不会传到输出。

它仍可能被输入激发，也可能不稳定。若一个不稳定不可观模式存在，外部输出可能看起来正常，内部状态却发散，这是传递函数视角可能遗漏的风险。

8. 零极点对消与最小实现

一个状态实现的传递函数为

G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D.

若某个模式不可控，输入激发不了它；若不可观，输出看不到它。这些模式不会完整出现在传递函数中，代数上表现为零极点对消。

一个实现是最小实现，当且仅当它同时可控、可观。其阶数等于约分后传递函数分母次数，即 McMillan 阶数。

构造最小实现的步骤：

先把传递函数分子分母公因子约掉；
用约分后的分母次数作为状态维数；
写可控标准形或可观标准形；
用秩判据确认可控、可观。

9. 代数等价的条件

两个同阶最小实现若表示同一传递函数，则存在可逆矩阵 $P$ 使

A_2=P^{-1}A_1P,

B_2=P^{-1}B_1,\qquad C_2=C_1P.

若实现不是最小的，即使传递函数相同，也可能包含不同的不可控或不可观内部模式，从而不存在这样的相似变换。

10. 状态反馈会影响可观测性吗

状态反馈 $u=v-Kx$ 后，系统对新输入的状态矩阵变为 $A-BK$ 。可控性保持不变，但 $(A-BK,C)$ 的可观测性可能改变，因为反馈改变了状态模式与输出零点的关系。

这正是“状态反馈不影响可控性，却可能影响可观测性”的原因。不能把两种性质完全对称地套在同一个反馈操作上。

11. 做题流程

写 $C,CA,\ldots,CA^{n-1}$ ；
求秩或行列式，得到参数条件；
有特征值参数时可用 PBH；
要求标准形时利用对偶；
看到分子分母公因子，先考虑零极点对消；
判断内部稳定性时，不要只看约分后的传递函数极点。