状态反馈、极点配置与状态观测器

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现代控制的基本设计思路是：若状态都知道，就用状态反馈改变闭环极点；若状态不能全测，就用观测器根据输入输出估计状态，再用估计值反馈。

1. 状态反馈

对

x˙=Ax+Bu,\dot x=Ax+Bu,

施加

u=v−Kx,u=v-Kx,

得到

x˙=(A−BK)x+Bv.\dot x=(A-BK)x+Bv.

闭环特征多项式为

det⁡(sI−A+BK).\det(sI-A+BK).

选择 KK 就是在选择闭环内部自然模式。

2. 极点能否任意配置

SISO 系统的全部 nn 个闭环极点可通过状态反馈任意配置，当且仅当 (A,B)(A,B) 可控。

若系统不可控，反馈无法作用到不可控子空间，其特征值固定不动。若这些固定极点都在左半平面，系统仍可能“可稳定”；但不能说任意极点配置。

3. 直接配系数

低阶系统最简单的方法是令

K=[k1⋯kn],K=\begin{bmatrix}k_1&\cdots&k_n\end{bmatrix},

计算

det⁡(sI−A+BK),\det(sI-A+BK),

再与期望多项式

∏i=1n(s−λi∗)\prod_{i=1}^n(s-\lambda_i^*)

逐项比较系数。

做完应把 KK 代回 A−BKA-BK，直接检查特征值，避免符号约定弄反。

4. 可控标准形与 Ackermann 公式

对可控系统，可先变换到可控标准形。在标准形中，状态反馈只修改特征多项式最后一行系数，因此反馈增益可直接由原系数与期望系数之差得到，再变换回原坐标。

SISO Ackermann 公式写成

K=enTC−1ϕd(A),K=e_n^T\mathcal C^{-1}\phi_d(A),

其中 enT=[0,…,0,1]e_n^T=[0,\ldots,0,1]，C\mathcal C 为可控矩阵，ϕd\phi_d 是期望特征多项式。

公式适合理论计算；高阶数值系统直接求 C−1\mathcal C^{-1} 可能病态，实际软件使用更稳定的极点配置算法。

5. 状态反馈改变什么

  • 不改变 (A,B)(A,B) 的可控性；
  • 改变闭环极点；
  • 在可控标准形下通常不改变传递函数有限零点，但可能造成新的零极点对消；
  • 可能改变 (A−BK,C)(A-BK,C) 的可观测性；
  • 不会自动保证参考输入的稳态增益为 1。

若要跟踪常值参考，常需增加前置增益 NN，或引入积分状态。极点位置和稳态跟踪是相关但不同的设计任务。

6. 为什么需要观测器

状态反馈公式假设能测量完整 xx，现实中往往只能测到 y=Cxy=Cx。开环估计器

x^˙=Ax^+Bu\dot{\hat x}=A\hat x+Bu

若初始估计不准，只能依靠系统自身稳定性慢慢消除误差；对象不稳定时误差还会发散。

观测器用输出误差不断校正：

x^˙=Ax^+Bu+L(y−Cx^).\dot{\hat x} =A\hat x+Bu+L(y-C\hat x).

7. 观测误差动力学

定义

x~=x−x^.\tilde x=x-\hat x.

对象与观测器相减：

x~˙=(A−LC)x~.\dot{\tilde x}=(A-LC)\tilde x.

输入项完全抵消。只要选择 LL 使 A−LCA-LC Hurwitz，估计误差就趋于 0。

观测器极点可任意配置，当且仅当 (A,C)(A,C) 可观测。这与对偶系统 (AT,CT)(A^T,C^T) 的状态反馈完全对应，可用极点配置算法求 LTL^T。

8. 观测器极点选多快

通常让观测器极点比控制闭环极点更靠左，使估计先收敛；但过快会带来：

  • 更大的观测器增益；
  • 更强的测量噪声放大；
  • 对模型误差更敏感；
  • 离散实现中更高采样率要求。

“越快越好”不是普遍正确的设计原则。

9. 用估计状态实现反馈

采用

u=v−Kx^.u=v-K\hat x.

把状态写成 xx 与估计误差 x~\tilde x，联合系统矩阵可化成块上三角形式，其特征值集合为

σ(A−BK)∪σ(A−LC).\sigma(A-BK)\cup\sigma(A-LC).

这就是分离原理：若系统可控且可观，可以独立设计控制器极点与观测器极点，组合后仍分别保留。

分离的是特征值设计，不表示瞬态幅值、噪声和鲁棒性也完全互不影响。

10. 渐近稳定与 BIBO 稳定

状态方程的零输入渐近稳定要求

Re⁡λi(A)<0\operatorname{Re}\lambda_i(A)<0

对所有内部特征值成立。

传递函数的 BIBO 稳定只要求约分后传递函数极点在左半平面。若不稳定内部模式不可控或不可观，它可能被输入输出关系对消，于是出现“BIBO 稳定但内部不渐近稳定”。

对既可控又可观的最小实现，两者等价。

11. Lyapunov 稳定性基础

对自治系统 x˙=f(x)\dot x=f(x)，若能找到标量函数 V(x)V(x)：

V(0)=0,V(x)>0 (x≠0),V(0)=0,\qquad V(x)>0\ (x\ne0),

且沿轨迹

V˙(x)=∇V(x)Tf(x)≤0,\dot V(x)=\nabla V(x)^Tf(x)\le0,

则原点稳定；若 V˙(x)<0\dot V(x)<0，通常可得渐近稳定。

对线性系统 x˙=Ax\dot x=Ax，AA Hurwitz 当且仅当对任意 Q=QT>0Q=Q^T>0，Lyapunov 方程

ATP+PA=−QA^TP+PA=-Q

有唯一正定解 PP。取 V=xTPxV=x^TPx，便有 V˙=−xTQx<0\dot V=-x^TQx<0。

Lyapunov 方法无需显式求系统轨迹，也能推广到非线性系统。

12. 完整设计流程

  1. 检查 (A,B)(A,B) 可控性；
  2. 选择控制闭环极点并求 KK；
  3. 检查 (A,C)(A,C) 可观测性；
  4. 选择观测器极点并求 LL；
  5. 写出观测器方程与 u=v−Kx^u=v-K\hat x；
  6. 验证 A−BKA-BK、A−LCA-LC 的特征值；
  7. 再检查参考跟踪、控制输入大小、噪声和模型误差。

极点配置解决的是内部动态位置，不等于整个控制系统的所有指标都自动满足。

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