线性系统的可控性

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可控性问的是：输入通道是否有能力影响系统的每一个状态方向。若某个内部模式无论怎样施加输入都碰不到，就无法靠控制器改变它。

1. 定义

对

x˙=Ax+Bu,\dot x=Ax+Bu,

若存在有限时间和适当输入，能把任意初始状态转移到任意目标状态，则系统完全可控。

对 LTI 系统，“任意状态到任意状态”“任意状态到原点”“原点到任意状态”是等价的。

可控性是 (A,B)(A,B) 的性质，与输出矩阵 CC 无关。

2. Kalman 秩判据

构造可控矩阵

C=[BABA2B⋯An−1B].\mathcal C= \begin{bmatrix} B&AB&A^2B&\cdots&A^{n-1}B \end{bmatrix}.

系统可控的充分必要条件是

rank⁡C=n.\operatorname{rank}\mathcal C=n.

直观上，BB 给出输入直接推动的方向；AB,A2B,…AB,A^2B,\ldots 表示这些影响经内部动力学继续传播后能到达的方向。它们张成整个状态空间时，输入才能到达任意状态。

SISO 时 B=bB=b 为一列；MIMO 时每个 AkBA^kB 都贡献多列。

3. 可控 Gramian

有限时间 [0,T][0,T] 的可控 Gramian 为

Wc(T)=∫0TeAτBBTeATτ dτ.W_c(T)=\int_0^T e^{A\tau}BB^Te^{A^T\tau}\,d\tau.

系统在该时间区间可控，当且仅当 Wc(T)W_c(T) 正定、可逆。

它不仅给出是/否判据，还反映控制不同状态方向所需能量。Gramian 特征值很小的方向虽然数学上可控，却可能需要巨大输入，在工程上“几乎不可控”。

4. PBH 判据

系统可控，当且仅当对 AA 的每个特征值 λ\lambda：

rank⁡[λI−AB]=n.\operatorname{rank} \begin{bmatrix} \lambda I-A&B \end{bmatrix}=n.

等价地，不存在非零左特征向量 qTq^T 满足

qTA=λqT,qTB=0.q^TA=\lambda q^T,\qquad q^TB=0.

若某个左特征模式与输入正交，输入就激发不了它。

PBH 对带参数矩阵、重复特征值和只检查特定模式时很方便。

5. Jordan 形下的直觉

若 AA 已是 Jordan 形，输入必须进入每条 Jordan 链的关键端点。对同一特征值存在多个 Jordan 块时，单输入往往无法同时独立激发所有链。

不能只检查 BB 的每个元素是否非零；必须结合 Jordan 块结构或直接用秩判据。

6. 可控标准形

对 SISO 可控系统，其传递函数分母为

sn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0.s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0.

一种可控标准形为

Ac=[010⋯0001⋯0⋮⋱⋮000⋯1−a0−a1−a2⋯−an−1],A_c= \begin{bmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\cdots&0\\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1\\ -a_0&-a_1&-a_2&\cdots&-a_{n-1} \end{bmatrix}, bc=[00⋯1]T.b_c= \begin{bmatrix}0&0&\cdots&1\end{bmatrix}^T.

不同教材可能使用转置排列形式。判断答案是否一致，应看约定下的特征多项式和 C(sI−A)−1B+DC(sI-A)^{-1}B+D，不要只比矩阵外观。

若原系统可控，存在可逆坐标变换把它化成这种形式。变换矩阵可由原可控矩阵与标准形可控矩阵的关系求得。

7. 可控分解

若

rank⁡C=r<n,\operatorname{rank}\mathcal C=r<n,

选择前 rr 个基向量张成可控子空间，再补足全空间，可在新坐标下得到

z˙c=Aczc+A12zuc+Bcu,z˙uc=Auczuc,\begin{aligned} \dot z_c&=A_cz_c+A_{12}z_{uc}+B_cu,\\ \dot z_{uc}&=A_{uc}z_{uc}, \end{aligned}

或等价的块三角形式。不可控部分没有输入通道，因此状态反馈也无法随意改变其特征值。

传递函数只包含可由输入激发、又能由输出看到的部分；不可控模式可能在传递函数中被对消。

8. 坐标变换不改变可控性

在 x=Pzx=Pz 下，

Aˉ=P−1AP,Bˉ=P−1B.\bar A=P^{-1}AP,\qquad\bar B=P^{-1}B.

新可控矩阵满足

Cˉ=P−1C,\bar{\mathcal C}=P^{-1}\mathcal C,

左乘可逆矩阵不改变秩，所以可控性是系统本身的结构性质，不取决于状态坐标名字。

9. 状态反馈不改变可控性

施加

u=v−Kxu=v-Kx

后，闭环状态矩阵变为 A−BKA-BK。可证明

(A,B) 可控  ⟺  (A−BK,B) 可控.(A,B)\text{ 可控} \iff (A-BK,B)\text{ 可控}.

状态反馈能移动的正是原本可控的模式；它不能凭空获得对不可控方向的控制权。

10. 做题流程

  1. 确认状态维数 nn；
  2. 写 B,AB,…,An−1BB,AB,\ldots,A^{n-1}B；
  3. 拼接矩阵并求秩，带参数时求满秩条件；
  4. 需要模式级判断时用 PBH；
  5. 要化标准形，先确认可控再求可逆变换；
  6. 不可控时识别不可控特征值，判断它是否稳定。

一个系统不可控不等于毫无用处；若所有不可控模式本身稳定，系统仍可能是可稳定的。极点配置能否任意完成，则要求完全可控。

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