根轨迹法

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根轨迹描述某个实参数从 0 变化到无穷时，闭环极点在 ss 平面上的移动轨迹。它让我们不必对每个增益都重新求高阶方程根，就能直接观察稳定性和瞬态趋势。

1. 从特征方程出发

单位负反馈系统的开环传递函数写成

G(s)H(s)=K∗∏j=1m(s−zj)∏i=1n(s−pi),K∗≥0.G(s)H(s)=K^*\frac{\prod_{j=1}^m(s-z_j)}{\prod_{i=1}^n(s-p_i)}, \qquad K^*\ge0.

闭环特征方程为

1+G(s)H(s)=0.1+G(s)H(s)=0.

因此根轨迹上的点必须满足

G(s)H(s)=−1.G(s)H(s)=-1.

拆成两个条件：

∑j∠(s−zj)−∑i∠(s−pi)=(2k+1)180∘,\sum_j\angle(s-z_j)-\sum_i\angle(s-p_i)=(2k+1)180^\circ, K∗=∏i∣s−pi∣∏j∣s−zj∣.K^*=\frac{\prod_i|s-p_i|}{\prod_j|s-z_j|}.

角度条件判断点是否在轨迹上，模值条件计算该点对应增益。

2. 基本绘制规则

  1. 分支数等于开环极点数 nn；
  2. 根轨迹关于实轴对称；
  3. K∗=0K^*=0 时从开环极点出发；
  4. K∗→∞K^*\to\infty 时终止于开环零点，多余的 n−mn-m 条分支趋于无穷远；
  5. 实轴上某点右侧的实开环零点与极点总数为奇数时，该点属于常规根轨迹。

先把开环极点画成叉号、零点画成圆圈，再判断实轴段，能快速搭出骨架。

3. 无穷远渐近线

当 n>mn>m，有 n−mn-m 条分支趋于无穷。渐近线与实轴交点为

σa=∑ipi−∑jzjn−m,\sigma_a= \frac{\sum_i p_i-\sum_j z_j}{n-m},

角度为

ϕk=(2k+1)180∘n−m,k=0,1,…,n−m−1.\phi_k=\frac{(2k+1)180^\circ}{n-m}, \qquad k=0,1,\ldots,n-m-1.

这些是远处的趋近方向，不意味着轨迹从重心沿直线立刻出发。

4. 分离点与会合点

从特征方程解出增益关于 ss 的函数：

K∗(s)=−D(s)N(s).K^*(s)=-\frac{D(s)}{N(s)}.

实轴上多条分支分离或会合的候选点满足

dK∗(s)ds=0.\frac{dK^*(s)}{ds}=0.

求出的根只是候选，还要检查它是否位于合法实轴根轨迹段，并且对应 K∗>0K^*>0。不满足者舍去。

两条分支在普通二重分离点通常以 ±90∘\pm90^\circ 方向离开实轴；更高重数要按等角规则分析。

5. 复极点出射角与复零点入射角

在某个复极点 pkp_k 附近，除 (s−pk)(s-p_k) 外其他角度近似固定。由角度条件可求出射角：

θpk=180∘+∑j∠(pk−zj)−∑i≠k∠(pk−pi)(mod360∘).\theta_{p_k} =180^\circ +\sum_j\angle(p_k-z_j) -\sum_{i\ne k}\angle(p_k-p_i) \pmod{360^\circ}.

复零点入射角同理由角度条件得到。计算时要使用正确象限的 atan2，不要只取普通反正切的主值。

6. 与虚轴交点和稳定范围

有两种常用方法：

  • 令 s=jωs=j\omega 代入闭环特征方程，分别令实部和虚部为 0；
  • 对含参数的闭环特征多项式列 Routh 表，令稳定边界对应的第一列元素为 0，再用辅助方程求 ω\omega。

轨迹穿过虚轴的参数值通常是稳定区间边界。只画大概图不足以给出精确范围。

7. 由极点位置读性能

对极点 s=σ+jωds=\sigma+j\omega_d：

ωn=σ2+ωd2,ζ=−σωn.\omega_n=\sqrt{\sigma^2+\omega_d^2}, \qquad \zeta=-\frac{\sigma}{\omega_n}.
  • 左半平面：指数衰减；
  • 右半平面：发散；
  • 越靠左：通常衰减越快；
  • 越靠近虚轴：调节越慢；
  • 与负实轴夹角越大：阻尼比越小，超调越大。

等阻尼比线是从原点出发的射线，等自然频率线是以原点为圆心的圆。可把超调、调节时间要求转成 ss 平面区域，再在根轨迹上选增益。

8. 主导极点与零点影响

靠近虚轴的闭环极点衰减最慢，常成为主导极点。远左极点若实部绝对值至少大出数倍，可以近似忽略。

零点会改变响应系数，也会吸引根轨迹。若零点靠近主导极点，简单二阶近似可能严重失真；近似前应检查零极点相对位置。

9. 参数根轨迹与零度根轨迹

若变化参数不是单纯正增益，应先把特征方程整理为

1+K∗L(s)=01+K^*L(s)=0

的等效形式，再按常规规则画。若形成 1−K∗L(s)=01-K^*L(s)=0，角度条件变为 0∘0^\circ 的偶数倍，对应零度根轨迹，实轴规则和渐近线角度也随之改变。

不要看到参数就直接把原开环极点当起点，必须先看参数为 0 时特征方程的根。

10. 标准绘图清单

  1. 写等效开环零极点；
  2. 确定分支数、起点和终点；
  3. 标实轴根轨迹段；
  4. 求渐近线角度与重心；
  5. 求分离、会合候选并筛选；
  6. 求复极点出射角和复零点入射角；
  7. 求虚轴交点及对应增益；
  8. 利用对称性和连续性连接；
  9. 用模值条件给关键点标增益；
  10. 从轨迹读稳定范围、阻尼与速度。

根轨迹的价值不只是把线画出来，而是把增益变化与闭环极点、再与时域性能连接起来。

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