时域分析：响应、稳定性与稳态误差

时域分析直接研究输出 $y(t)$ 如何随时间变化。它回答三类最直观的问题：会不会发散，多久到达目标，会留下多大误差。

1. 典型输入

• 单位脉冲：$\delta(t)$，$R(s)=1$；
• 单位阶跃：$1(t)$，$R(s)=1/s$；
• 单位斜坡：$t$，$R(s)=1/s^2$；
• 单位加速度输入：$t^2/2$，$R(s)=1/s^3$；
• 正弦输入：用于频率响应。

阶跃输入能同时激发广泛频率成分，最常用来观察瞬态和稳态表现。

2. 阶跃响应指标

• 延迟时间 $t_d$：第一次达到稳态值 50% 的时间；
• 上升时间 $t_r$：通常指从 10% 到 90%，具体定义随系统类型而异；
• 峰值时间 $t_p$：第一次到达最大峰值的时间；
• 超调量 $M_p$：峰值超过稳态值的相对百分比；
• 调节时间 $t_s$：进入并持续留在 2% 或 5% 误差带内的最早时间；
• 稳态误差 $e_{ss}$：稳定后期望与实际输出之差。

答题时要说明使用 2% 还是 5% 误差带。

3. 一阶系统

标准一阶闭环传递函数为

$$\Phi(s)=\frac1{Ts+1}.$$

单位阶跃响应：

$$y(t)=1-e^{-t/T}.$$

时间常数 $T$ 决定快慢：$t=T$ 时到达约 63.2%，$3T$ 时约 95%，$4T$ 时约 98.2%。因此

$$t_s\approx3T\quad(5\%),\qquad t_s\approx4T\quad(2\%).$$

稳定一阶系统不超调。单位斜坡输入下则会留下与 $T$ 相关的稳态跟踪误差。

4. 二阶系统

标准形式为

$$\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}.$$

$\omega_n$ 是无阻尼自然频率，$\zeta$ 是阻尼比。

阻尼分类

• $\zeta<0$：右半平面极点，发散；
• $\zeta=0$：无阻尼持续振荡；
• $0<\zeta<1$：欠阻尼，振荡衰减；
• $\zeta=1$：临界阻尼，最快无超调；
• $\zeta>1$：过阻尼，无超调但较慢。

欠阻尼时阻尼振荡频率为

$$\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.$$

常用指标：

$$t_p=\frac{\pi}{\omega_d},$$ $$M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%,$$ $$t_s\approx\frac4{\zeta\omega_n}\quad(2\%), \qquad t_s\approx\frac3{\zeta\omega_n}\quad(5\%).$$

这些近似针对典型欠阻尼二阶系统。额外零点、高阶非主导极点会改变结果。

5. 主导极点

高阶系统若有一对极点比其他极点更靠近虚轴，它们衰减最慢，常主导瞬态。其他极点实部绝对值远大得多时，可以近似为二阶系统。

“靠近虚轴”代表衰减慢；极点越向左，指数 $e^{\sigma t}$ 衰减越快。共轭极点与负实轴的夹角决定阻尼比，离原点的距离对应自然频率。

6. BIBO 稳定与极点

连续时间有理 LTI 系统 BIBO 稳定，当且仅当传递函数的所有极点严格位于左半平面。

• 右半平面极点产生发散指数；
• 虚轴简单极点产生不衰减振荡，在工程稳定意义下不算渐近稳定；
• 虚轴重极点会让幅值随时间增长。

判断闭环稳定看闭环特征多项式，而不是只看开环极点。

7. Routh–Hurwitz 判据

对闭环特征多项式

$$D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0,$$

Routh 表第一两行按奇偶次系数排列，后续元素由前两行递推。

在无特殊情形时：

• 第一列全同号，系统稳定；
• 第一列符号变化次数，等于右半平面根数。

必要但不充分的快速检查是所有系数同号且非零。

两种特殊情况

• 第一列某项为 0，但该行不全为 0：用小正数 $\varepsilon$ 替代，再看极限符号；
• 某一整行为 0：上一行构造辅助多项式，对其求导，用导数系数替换零行。这通常意味着存在关于原点对称的根，可能有虚轴根。

Routh 判据还能通过第一列不等式求参数稳定范围。

8. 稳态误差与终值定理

稳态误差为

$$e_{ss}=\lim_{t\to\infty}e(t) =\lim_{s\to0}sE(s).$$

使用终值定理前，必须保证 $sE(s)$ 的极点全在左半平面；系统不稳定时，直接代公式得到的有限数没有物理意义。

单位负反馈下

$$E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}.$$

9. 系统型别与静态误差系数

开环传递函数在原点的积分环节数 $\nu$ 定义系统型别：

$$G(s)H(s)=\frac{K\cdot\text{非零常数因子}}{s^\nu\cdot\text{非零常数因子}}.$$

定义

$$K_p=\lim_{s\to0}G(s)H(s),$$ $$K_v=\lim_{s\to0}sG(s)H(s),$$ $$K_a=\lim_{s\to0}s^2G(s)H(s).$$

单位输入下：

型别	阶跃误差	斜坡误差	加速度误差
0 型	$1/(1+K_p)$	$\infty$	$\infty$
I 型	0	$1/K_v$	$\infty$
II 型	0	0	$1/K_a$

该表只适用于指定反馈结构下、由参考输入引起的误差。扰动误差必须从扰动到误差的传递关系重新推导。

10. PD 与速度反馈

增加微分作用或速度反馈通常能增大等效阻尼、降低超调、改善平稳性。PD 控制器形如

$$G_c(s)=K_p+K_ds.$$

理想微分会放大高频噪声，实际常加入高频滚降。速度反馈需要测量速度，硬件更复杂；它也可能降低等效开环增益，从而影响稳态精度。

11. 解题顺序

1. 先写闭环特征方程并判稳定；
2. 再识别一阶、二阶或主导极点近似；
3. 按阻尼比和自然频率计算瞬态指标；
4. 从误差定义写 $E(s)$；
5. 检查终值定理条件后计算 $e_{ss}$。

稳定性是前提。一个发散系统谈“稳态误差”没有意义。