数学模型、传递函数与结构图

控制分析首先要把物理系统变成数学模型。经典控制最常用的链条是：物理定律写出微分方程，拉普拉斯变换把微分变成代数，再得到传递函数和结构图。

1. 从物理定律到微分方程

以质量—弹簧—阻尼系统为例，位移为 $y(t)$ 、外力为 $u(t)$ ：

M\ddot y(t)+B\dot y(t)+Ky(t)=u(t).

其中惯性、阻尼和弹性分别对应加速度、速度和位移项。列方程时应统一正方向，并把初始条件与外部输入分开。

线性定常系统的一般微分方程可写成

a_ny^{(n)}+\cdots+a_1\dot y+a_0y =b_mu^{(m)}+\cdots+b_1\dot u+b_0u.

2. 拉普拉斯变换为什么有用

拉普拉斯变换定义为

F(s)=\mathcal L\{f(t)\}=\int_{0^-}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt, \qquad s=\sigma+j\omega.

它把微分转成关于 $s$ 的乘法，同时保留初值：

\mathcal L\{\dot f(t)\}=sF(s)-f(0^-).

因此线性微分方程可变成代数方程，求解、串并联和稳定性分析都更方便。拉普拉斯变换比傅里叶变换适用范围更宽，许多增长或暂态信号也能处理。

3. 传递函数

线性定常系统在零初始条件下，输出拉氏变换与输入拉氏变换之比定义为传递函数：

G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}.

对前述机械系统：

G(s)=\frac1{Ms^2+Bs+K}.

传递函数描述输入输出动态，不直接告诉我们内部状态；不同物理系统可以具有同一个传递函数。

零初始条件是定义的一部分。非零初始状态产生的零输入响应，不能塞进 $G(s)U(s)$ 假装是外部输入。

4. 零点与极点

把传递函数写成

G(s)=K\frac{\prod_{i=1}^m(s-z_i)}{\prod_{j=1}^n(s-p_j)}.

分子根 $z_i$ 是零点；
分母根 $p_j$ 是极点；
极点决定自然响应的指数模式，是稳定性和响应速度的核心；
零点不产生独立自然模式，却会改变各模式的权重和响应形状。

若分子分母有公因子，输入输出传递函数会发生零极点对消；内部被对消的模式仍可能存在，这也是状态空间中“不可控或不可观”问题的来源。

5. 典型环节

环节	传递函数	直观作用
比例	$K$	按比例放大
积分	$1/s$	累积误差，提高低频增益
微分	$s$	对变化率敏感，理想形式放大高频噪声
惯性	$1/(Ts+1)$	一阶滞后
一阶微分	$Ts+1$	提供零点
振荡	$\omega_n^2/(s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2)$	二阶共轭极点
延迟	$e^{-\tau s}$	纯时间延迟，幅值不变、相位滞后

复杂系统常可分解成这些因子的乘积，Bode 图尤其依赖这种分解。

6. 结构图的四个元素

信号线：箭头表示信号传递方向；
方框：输出等于输入乘传递函数；
综合点：对多路信号按符号相加减；
引出点：同一个信号复制到多条支路。

结构图不只是“电路图”。它表达变量之间的动态代数关系，移动综合点或引出点时必须补乘或补除相应传递函数，保证每个信号等式不变。

7. 三种基本连接

串联：

G_{eq}=G_1G_2.

并联：

G_{eq}=G_1\pm G_2.

负反馈：

G_{eq}=\frac{G}{1+GH};

正反馈则分母为 $1-GH$ 。符号来自综合点，不能凭记忆统一写加号。

多回路化简通常先处理最内层回路，再逐步向外。但综合点和引出点互相交织时，机械移动容易出错，可改用梅森公式。

8. 信号流图与梅森公式

把变量作为节点、传递关系作为有向支路，可得到信号流图。总传递函数为

G(s)=\frac{\sum_{k=1}^N P_k\Delta_k}{\Delta}.

$P_k$ 是第 $k$ 条前向通路的支路增益乘积。系统行列式为

\Delta =1-\sum_iL_i +\sum_{i<j}L_iL_j -\sum_{i<j<k}L_iL_jL_k+\cdots,

其中只计互不接触的回路组合。 $\Delta_k$ 删除所有与第 $k$ 条前向通路接触的回路后，按同一公式计算。

使用步骤

找出所有不重复节点的前向通路；
找出所有单回路，回路增益包含综合点符号；
找两两、三三互不接触的回路；
计算 $\Delta$ ；
对每条前向通路计算 $\Delta_k$ ；
代入公式。

“不接触”指没有公共节点，不只是没有公共边。

9. 建模自检

传递函数是否明确零初始条件；
输入和输出方向、单位是否一致；
负反馈的负号是否已经计入回路增益；
结构图移动后信号等式是否仍相同；
梅森公式是否漏掉不接触回路组合；
分母最高次不低于分子，系统是否物理可实现。

模型准确，后面的稳定性和性能计算才有意义。