频率响应、Bode 图与 Nyquist 判据

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频率法问：给系统一个频率为 ω\omega 的正弦输入，稳态输出会被放大多少、相位落后多少？把所有频率扫一遍，就得到系统的频率特性。

1. 频率响应的定义

稳定 LTI 系统输入

r(t)=Asin⁡ωt,r(t)=A\sin\omega t,

暂态衰减后，输出仍是同频正弦：

yss(t)=A∣G(jω)∣sin⁡(ωt+∠G(jω)).y_{ss}(t)=A|G(j\omega)|\sin\bigl(\omega t+\angle G(j\omega)\bigr).

因此

G(jω)=G(s)∣s=jωG(j\omega)=G(s)|_{s=j\omega}

的模 ∣G(jω)∣|G(j\omega)| 是幅频特性，相角 ∠G(jω)\angle G(j\omega) 是相频特性。

线性系统的复杂输入可分解成不同频率的正弦分量，所以频率响应能揭示系统对信号和噪声各频段的处理能力。

2. 三种图示

  • 幅频和相频曲线：分别画 ∣G(jω)∣|G(j\omega)|、∠G(jω)\angle G(j\omega)；
  • Nyquist 图：让 G(jω)G(j\omega) 的端点在复平面上随 ω\omega 移动；
  • Bode 图：横轴为对数频率，纵轴为
L(ω)=20log⁡10∣G(jω)∣ dBL(\omega)=20\log_{10}|G(j\omega)|\ \text{dB}

和相角。

Bode 图把串联乘积变成分贝和相角的加法，且能用直线渐近线快速绘制。

3. 典型环节的 Bode 贡献

比例 KK

幅值为 20log⁡10∣K∣20\log_{10}|K| dB，K>0K>0 时相位 0°。

积分 1/s1/s

幅值斜率为 −20-20 dB/dec，相位为 −90∘-90^\circ。ν\nu 个积分环节贡献 −20ν-20\nu dB/dec 和 −90ν∘-90\nu^\circ。

一阶极点 1/(1+Ts)1/(1+Ts)

转折频率

ωb=1/T.\omega_b=1/T.

低频近似 0 dB，过转折后斜率减少 2020 dB/dec；相位从 0° 过渡到 −90∘-90^\circ，转折处约 −45∘-45^\circ。

一阶零点 1+Ts1+Ts

过转折后斜率增加 2020 dB/dec，相位最终增加到 +90∘+90^\circ。

二阶振荡环节

ωn2s2+2ζωns+ωn2\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}

在 ωn\omega_n 后渐近斜率为 −40-40 dB/dec，相位由 0° 过渡到 −180∘-180^\circ。阻尼小会在自然频率附近产生共振峰，单纯渐近线看不出来。

纯延迟 e−τse^{-\tau s}

幅值恒为 1，即 0 dB；相位为

−ωτ.-\omega\tau.

延迟不改变幅频，却会持续增加相位滞后，显著损害稳定裕度。

4. 从传递函数画 Bode 渐近线

  1. 化成比例、积分、标准一二阶因子的乘积；
  2. 标出全部转折频率；
  3. 用低频增益和积分个数确定起点与初始斜率；
  4. 每过一个一阶零点斜率加 20 dB/dec，一阶极点减 20 dB/dec；
  5. 二阶零极点改变 40 dB/dec；
  6. 各环节相角相加；
  7. 需要精度时在转折附近做真实曲线修正。

反过来从渐近线识别传递函数时，斜率变化告诉我们零极点数量，转折位置告诉时间常数；低频截距确定增益。

5. 截止频率与稳定裕度

开环幅值穿过 0 dB，即

∣G(jωc)H(jωc)∣=1|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1

的频率叫增益截止频率 ωc\omega_c。相位裕度为

γ=180∘+∠G(jωc)H(jωc).\gamma=180^\circ+\angle G(j\omega_c)H(j\omega_c).

相位穿过 −180∘-180^\circ 的频率记为 ωg\omega_g，增益裕度为

h=1∣G(jωg)H(jωg)∣,h=\frac1{|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|},

分贝表示为

20log⁡10h=−20log⁡10∣G(jωg)H(jωg)∣.20\log_{10}h=-20\log_{10}|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|.

对开环稳定的常见最小相位系统，正的相位裕度和大于 1 的增益裕度通常意味着闭环稳定，并反映离临界不稳定还有多远。但严格结论仍应结合 Nyquist 判据。

6. Nyquist 判据

令开环环路传递函数为 L(s)=G(s)H(s)L(s)=G(s)H(s)。辅助函数

F(s)=1+L(s)F(s)=1+L(s)

的零点就是闭环右半平面极点，极点是开环右半平面极点。

按本课件采用的计数约定：当 ω\omega 从 −∞-\infty 到 +∞+\infty 时，设 Nyquist 曲线逆时针绕 (−1,0)(-1,0) 的圈数为 RR，开环右半平面极点数为 PP，闭环右半平面极点数为 ZZ，则

Z=P−R.Z=P-R.

闭环稳定要求 Z=0Z=0，即 R=PR=P。

有些教材把顺时针设为正，公式会写成别的符号。不要孤立背公式，应始终声明绕行方向和计数正负。

若开环在虚轴上有极点，Nyquist 围线必须用无穷小半圆绕开，曲线也要补上对应映射；不能直接把穿过奇点的普通曲线拿来数圈。

7. 频域与时域性能

闭环带宽

闭环幅值降到低频值的 1/21/\sqrt2，即 −3-3 dB 处的频率常定义为带宽 ωb\omega_b。带宽越大，响应通常越快；一阶系统约有

ts≈3ωbt_s\approx\frac3{\omega_b}

的 5% 调节时间关系。

开环三频段

  • 低频段由增益和积分环节主导，反映稳态精度；
  • 截止频率附近的中频段反映平稳性与快速性，较宽的 −20-20 dB/dec 段通常较理想；
  • 高频段幅值越低，抑制高频噪声的能力通常越强。

提高截止频率能让系统更快，但会接近更多高频相位滞后并放大噪声；同样需要折中。

8. 最小相位与非最小相位

右半平面零点或极点会带来额外相位滞后。两个系统可能有相同幅频曲线，却因零极点位于左右半平面的不同位置而相频不同。

因此只有在最小相位前提下，才可能从幅频较可靠地推断相位和时域趋势。看到幅值一样，不能断言动态性能一样。

9. 解题清单

  • 先把开环函数因式分解并写标准时间常数形式；
  • 幅值用 dB 相加，相位用角度相加；
  • 渐近线过转折点要改斜率；
  • 求裕度时区分增益截止与相位截止频率；
  • Nyquist 先数开环右半平面极点 PP，再按声明的方向数圈；
  • 开环含虚轴极点时使用修正围线；
  • 不把近似 Bode 图算出的数字假装成无误差精确值。

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