第 9 周作业：钟摆与指数理论

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#作业

源作业对应教材 6.7.1、6.8.2、6.8.4、6.8.6 与 6.8.13。前半用能量和线性化分析阻尼钟摆，后半学习一个很“拓扑”的工具：不精确求轨迹，也能用向量转了几圈判断闭轨能否存在。

6.7.1：阻尼钟摆

θ¨+bθ˙+sin⁡θ=0,b>0.\ddot\theta+b\dot\theta+\sin\theta=0, \qquad b>0.

令 ω=θ˙\omega=\dot\theta，得到

θ˙=ω,ω˙=−bω−sin⁡θ.\dot\theta=\omega,\qquad \dot\omega=-b\omega-\sin\theta.

不动点为

(θ∗,ω∗)=(kπ,0),k∈Z.(\theta^*,\omega^*)=(k\pi,0), \qquad k\in\mathbb Z.

雅可比矩阵

J(kπ,0)=(01−(−1)k−b).J(k\pi,0)= \begin{pmatrix} 0&1\\ -(-1)^k&-b \end{pmatrix}.

向下平衡：θ=2kπ\theta=2k\pi

特征方程是

λ2+bλ+1=0.\lambda^2+b\lambda+1=0.
  • 0<b<20<b<2：稳定焦点，摆动衰减着回到最低点；
  • b=2b=2：退化稳定结点，临界阻尼；
  • b>2b>2：稳定结点，过阻尼地回到最低点。

向上平衡：θ=(2k+1)π\theta=(2k+1)\pi

特征方程

λ2+bλ−1=0\lambda^2+b\lambda-1=0

有一正一负两个根，所以总是鞍点。

能量

E(θ,ω)=ω22+1−cos⁡θE(\theta,\omega) =\frac{\omega^2}{2}+1-\cos\theta

满足

E˙=ω(−bω−sin⁡θ)+sin⁡θ ω=−bω2≤0.\dot E =\omega(-b\omega-\sin\theta)+\sin\theta\,\omega =-b\omega^2\le0.

因此阻尼持续耗散能量。画相图时要记得 θ\theta 是周期变量：平面上相隔 2π2\pi 的不动点，在圆柱相空间上其实是同一个位置。

6.8.2：指数为零的退化不动点

x˙=x2,y˙=y.\dot x=x^2,\qquad \dot y=y.

唯一不动点是原点。在线性化里有零特征值，因此不能套双曲分类。

在小圆 x=εcos⁡ϕ, y=εsin⁡ϕx=\varepsilon\cos\phi,\ y=\varepsilon\sin\phi 上，

f=(ε2cos⁡2ϕ, εsin⁡ϕ).\boldsymbol f =\left(\varepsilon^2\cos^2\phi,\, \varepsilon\sin\phi\right).

向量在右侧始终有非负水平分量：绕圆一周时，它从向右转向上、再回到向右、转向下、最后又回到向右，正转与反转抵消，净转角为零。因此

I(0,0)=0.I(0,0)=0.

6.8.4：一个“高阶鞍点”

x˙=y3,y˙=x.\dot x=y^3,\qquad \dot y=x.

唯一不动点仍是原点。在小圆上依次看四个轴向点：

(x,y)(x˙,y˙)(ε,0)(0,ε)向上(0,ε)(ε3,0)向右(−ε,0)(0,−ε)向下(0,−ε)(−ε3,0)向左\begin{array}{c|c} (x,y)&(\dot x,\dot y)\\ \hline (\varepsilon,0)&(0,\varepsilon)\quad\text{向上}\\ (0,\varepsilon)&(\varepsilon^3,0)\quad\text{向右}\\ (-\varepsilon,0)&(0,-\varepsilon)\quad\text{向下}\\ (0,-\varepsilon)&(-\varepsilon^3,0)\quad\text{向左} \end{array}

沿小圆逆时针走一周，向量方向却顺时针转一整圈，所以

I(0,0)=−1.I(0,0)=-1.

它虽然不是双曲鞍点，拓扑指数却与普通鞍点相同。源手写扫描中的负号很淡；这里按向量实际绕向重新核验。

6.8.6：闭轨内各类不动点的计数

一条闭轨本身的指数为 +1+1。常见孤立不动点中：

  • 结点、焦点、中心的指数都是 +1+1；
  • 鞍点的指数是 −1-1。

若闭轨内分别有 NN 个结点、FF 个焦点、CC 个中心和 SS 个鞍点，则指数可加性给出

N+F+C−S=1.N+F+C-S=1.

移项即得

N+F+C=1+S.\boxed{N+F+C=1+S}.

这条式子常用于排除闭轨：若某个候选区域内不动点指数总和不是 11，就不可能有一条闭轨恰好包住它们。

6.8.13：曲线指数的积分公式

设

x˙=f(x,y),y˙=g(x,y),\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y),

闭曲线 CC 不经过不动点。向量场方向角满足

ϕ=arctan⁡gf.\phi=\arctan\frac gf.

令 u=g/fu=g/f，由

d(arctan⁡u)=du1+u2,du=f dg−g dff2d(\arctan u)=\frac{du}{1+u^2}, \qquad du=\frac{f\,dg-g\,df}{f^2}

得到

dϕ=f dg−g dff2+g2.d\phi =\frac{f\,dg-g\,df}{f^2+g^2}.

沿 CC 积分并除以一整圈 2π2\pi：

IC=12π∮Cf dg−g dff2+g2.\boxed{ I_C =\frac1{2\pi} \oint_C \frac{f\,dg-g\,df}{f^2+g^2} }.

这里 df=fxdx+fydydf=f_xdx+f_ydy、dg=gxdx+gydydg=g_xdx+g_ydy。积分结果必为整数，因为它数的是向量方向绕圆的次数。

本周做题模板

  1. 二阶振子先改成一阶平面系统；
  2. 周期角变量要把相平面理解成圆柱；
  3. 指数题沿闭曲线固定逆时针方向，再数向量的净转角；
  4. 结点、焦点、中心记 +1+1，鞍点记 −1-1；
  5. 指数只反映拓扑绕向，不反映稳定性：稳定结点和不稳定结点的指数相同。

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