第 8 周作业：非线性相平面与守恒量

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#作业

源作业对应教材 6.3.1、6.3.3、6.3.5、6.3.9、6.3.13、6.4.1、6.5.1 与 6.5.2。主线只有两步：先用零增长线找不动点，再用雅可比矩阵做局部分类；若线性化失效，就寻找不变量、守恒量或径向单调量。

6.3.1：两个不动点，两种命运

x˙=x−y,y˙=x2−4.\dot x=x-y,\qquad \dot y=x^2-4.

由 x−y=0x-y=0 与 x2−4=0x^2-4=0 得

(−2,−2),(2,2).(-2,-2),\qquad (2,2).

雅可比矩阵

J(x,y)=(1−12x0).J(x,y)= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 2x&0 \end{pmatrix}.
  • 在 (−2,−2)(-2,-2)，det⁡J=−4<0\det J=-4<0，所以是鞍点；
  • 在 (2,2)(2,2)，tr⁡J=1\operatorname{tr}J=1、det⁡J=4\det J=4、判别量 1−16<01-16<0，所以是不稳定焦点。

画全局相图时，先画零增长线 y=xy=x 和 x=±2x=\pm2，再在分割出的区域标 x˙,y˙\dot x,\dot y 的符号。

6.3.3：指数项在原点的线性化

x˙=1+y−e−x,y˙=x3−y.\dot x=1+y-e^{-x},\qquad \dot y=x^3-y.

原点是不动点。雅可比矩阵为

J(x,y)=(e−x13x2−1),J(0,0)=(110−1).J(x,y)= \begin{pmatrix} e^{-x}&1\\ 3x^2&-1 \end{pmatrix}, \qquad J(0,0)= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&-1 \end{pmatrix}.

特征值为 1,−11,-1，故原点是鞍点。这里不必把 e−xe^{-x} 展开很多阶：双曲不动点只需一阶线性化。

6.3.5：周期排列的中心与鞍点

x˙=sin⁡y,y˙=cos⁡x.\dot x=\sin y,\qquad \dot y=\cos x.

所有不动点为

x∗=(m+12)π,y∗=nπ,m,n∈Z.x^*=\left(m+\frac12\right)\pi,\qquad y^*=n\pi,\qquad m,n\in\mathbb Z.

在这些点，

J=(0(−1)n−(−1)m0),det⁡J=(−1)m+n.J= \begin{pmatrix} 0&(-1)^n\\ -(-1)^m&0 \end{pmatrix}, \qquad \det J=(-1)^{m+n}.
  • m+nm+n 为偶数：det⁡J>0\det J>0 且迹为零，局部是中心；
  • m+nm+n 为奇数：det⁡J<0\det J<0，局部是鞍点。

这不是靠线性化“猜”中心。系统有守恒量

H(x,y)=−sin⁡x−cos⁡y,H(x,y)=-\sin x-\cos y,

因为 x˙=Hy, y˙=−Hx\dot x=H_y,\ \dot y=-H_x，所以 H˙=0\dot H=0。中心周围的闭轨就是 HH 的闭合等高线。

6.3.9：不变直线与横向收缩

x˙=y3−4x,y˙=y3−y−3x.\dot x=y^3-4x,\qquad \dot y=y^3-y-3x.

不动点为

(0,0),(2,2),(−2,−2).(0,0),\qquad (2,2),\qquad (-2,-2).

雅可比矩阵

J(x,y)=(−43y2−33y2−1).J(x,y)= \begin{pmatrix} -4&3y^2\\ -3&3y^2-1 \end{pmatrix}.

原点的特征值为 −4,−1-4,-1，是稳定结点；在 (±2,±2)(\pm2,\pm2)，行列式为 −8-8，都是鞍点。

更重要的是直线 x=yx=y。若轨迹在这条线上，则

x˙=y˙=x3−4x,\dot x=\dot y=x^3-4x,

所以它是不变的。令 u=x−yu=x-y，直接相减得到

u˙=x˙−y˙=−u,u(t)=u(0)e−t.\dot u=\dot x-\dot y=-u, \qquad u(t)=u(0)e^{-t}.

因此，在解的最大存在时间区间内，轨迹与直线 x=yx=y 的差按 e−te^{-t} 指数衰减；只有先知道解对所有 t≥0t\ge0 都存在时，才能进一步写成 u(t)→0u(t)\to0。

这里不能无条件讨论 t→∞t\to\infty。在不变直线 x=yx=y 上，方程退化为

x˙=x3−4x=x(x2−4).\dot x=x^3-4x=x(x^2-4).

若初值满足 ∣x(0)∣>2|x(0)|>2，解会在有限时间逃向无穷。因此，“横向差收缩”说明轨迹在其存在期间靠近不变直线，却不保证轨迹全局存在。

6.3.13：线性中心被非线性变成稳定焦点

x˙=−y−x3,y˙=x.\dot x=-y-x^3,\qquad \dot y=x.

在原点线性化得到纯虚特征值，只能说“线性判据不确定”。取

V=x2+y2,V=x^2+y^2,

则

V˙=2x(−y−x3)+2yx=−2x4≤0.\dot V =2x(-y-x^3)+2yx =-2x^4\le0.

V˙=0\dot V=0 的集合是 x=0x=0，但除原点外，向量场会立刻把轨迹带离该集合；由 LaSalle 思想，原点渐近稳定。又因为相位持续旋转，所以它是稳定焦点，而不是中心。

6.4.1：兔子与羊的竞争

x˙=x(3−x−y),y˙=y(2−x−y),x,y≥0.\dot x=x(3-x-y),\qquad \dot y=y(2-x-y), \qquad x,y\ge0.

不动点只有

(0,0),(3,0),(0,2).(0,0),\qquad(3,0),\qquad(0,2).

分类如下：

  • (0,0)(0,0)：两个物种都能从稀少状态增长，是不稳定结点；
  • (3,0)(3,0)：稳定结点；
  • (0,2)(0,2)：鞍点。

两条坐标轴不变。在 yy 轴上，轨迹趋于 (0,2)(0,2)；只要初始兔子数量 x0>0x_0>0，轨迹最终趋于 (3,0)(3,0)。模型的结论是兔子排挤羊，而不是稳定共存。

6.5.1：双势垒中的保守运动

二阶方程

x¨=x3−x\ddot x=x^3-x

写成

x˙=y,y˙=x3−x.\dot x=y,\qquad \dot y=x^3-x.

不动点为 (0,0)(0,0) 与 (±1,0)(\pm1,0)。线性化表明原点为中心，两侧为鞍点。

将方程写成 x¨=−U′(x)\ddot x=-U'(x)，可取

U(x)=x22−x44.U(x)=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}.

于是总能量

E(x,y)=y22+x22−x44E(x,y)=\frac{y^2}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}

满足 E˙=0\dot E=0。相轨道就是能量等高线：原点附近是闭轨，经过鞍点的 E=1/4E=1/4 等高线构成分离曲线。

6.5.2：同宿轨与中心

x¨=x−x2\ddot x=x-x^2

等价于

x˙=y,y˙=x−x2.\dot x=y,\qquad \dot y=x-x^2.

平衡点为

(0,0),(1,0).(0,0),\qquad(1,0).

雅可比矩阵为

J(x,y)=(011−2x0).J(x,y)= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1-2x&0 \end{pmatrix}.

在原点特征值为 ±1\pm1，所以是鞍点；在 (1,0)(1,0) 特征值为 ±i\pm i。为确认后者确实是中心，构造守恒量

E(x,y)=y22−x22+x33.E(x,y)=\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}.

沿轨道有 E˙=0\dot E=0，且势能在 x=1x=1 处取局部最小值，所以 (1,0)(1,0) 是中心。经过原点鞍点的分离曲线满足 E=0E=0：

y2=x2−23x3.\boxed{y^2=x^2-\frac23x^3}.

这条同宿轨从原点出发又回到原点，并包围中心 (1,0)(1,0)。

本周易错点

  • 求出不动点后，要在每个点重新代入雅可比矩阵；
  • 纯虚特征值不自动等于中心，必须再找守恒量或高阶径向项；
  • “直线看起来像轨迹”不够，需验证在线上有 y˙=(dy/dx)x˙\dot y=(dy/dx)\dot x；
  • 二阶保守系统先找势能 UU，再用 E=y2/2+U(x)E=y^2/2+U(x) 画等高线，通常比硬解微分方程更快。

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