一维离散映射与倍周期分岔

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一维映射

xn+1=f(xn)x_{n+1}=f(x_n)

用迭代代替连续流。虽然状态只有一个变量，它却可以出现连续一维自治系统绝不可能产生的周期、倍周期和混沌。

不动点与线性稳定性

不动点满足

f(x∗)=x∗.f(x^*)=x^*.

令 xn=x∗+ηnx_n=x^*+\eta_n，Taylor 展开：

ηn+1=f′(x∗)ηn+O(ηn2).\eta_{n+1}=f'(x^*)\eta_n+O(\eta_n^2).

所以

∣f′(x∗)∣<1⇒稳定,∣f′(x∗)∣>1⇒不稳定.|f'(x^*)|<1\Rightarrow\text{稳定}, \qquad |f'(x^*)|>1\Rightarrow\text{不稳定}.

若 f′(x∗)<0f'(x^*)<0 但绝对值小于 1，扰动会左右交替并收敛；若 f′(x∗)<−1f'(x^*)<-1，交替振幅增大，常触发倍周期。

蛛网图

在同一坐标系画 y=f(x)y=f(x) 与 y=xy=x：

  1. 从 x0x_0 竖直到函数图像，得到 x1=f(x0)x_1=f(x_0)；
  2. 水平移到对角线，把 x1x_1 当成新横坐标；
  3. 重复。

向交点螺旋式收缩表示稳定；离开交点后落入两个点之间的矩形循环，表示二周期。

逻辑斯蒂映射

xn+1=rxn(1−xn),0≤xn≤1.x_{n+1}=rx_n(1-x_n),\qquad 0\le x_n\le1.

不动点：

x1∗=0,x2∗=1−1r.x_1^*=0,\qquad x_2^*=1-\frac1r.

因为 f′(x)=r(1−2x)f'(x)=r(1-2x)：

  • 0<r<10<r<1：原点稳定；
  • 1<r<31<r<3：非零不动点稳定；
  • r=3r=3：其乘子降到 −1-1，发生倍周期分岔；
  • r>3r>3：出现二周期。

二周期怎样求

二周期点满足

f2(x)=xf^2(x)=x

但不满足 f(x)=xf(x)=x。对逻辑斯蒂映射，除去两个不动点因子后得到

p,q=r+1±(r−3)(r+1)2r.p,q=\frac{r+1\pm\sqrt{(r-3)(r+1)}}{2r}.

周期乘子是

μ2=(f2)′(p)=f′(p)f′(q)=4+2r−r2.\mu_2=(f^2)'(p)=f'(p)f'(q)=4+2r-r^2.

二周期稳定当且仅当

∣μ2∣<1⟺3<r<1+6.|\mu_2|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3<r<1+\sqrt6.

倍周期级联

继续增加 rr，稳定二周期失稳并产生四周期，随后出现 8,16,…8,16,\ldots 周期。相邻分岔参数间隔之比趋向 Feigenbaum 常数

δ≈4.669.\delta\approx4.669.

这体现了许多单峰映射共享的普适性。

混沌窗口

进入混沌参数区后，并非所有参数都混沌；仍会出现周期窗口，如稳定三周期窗口，随后又经历自己的倍周期级联。分岔图中稠密点带与细周期支交错。

Lyapunov 指数

一维映射沿轨道的指数估计为

λ=lim⁡N→∞1N∑n=0N−1ln⁡∣f′(xn)∣.\lambda=\lim_{N\to\infty}\frac1N \sum_{n=0}^{N-1}\ln|f'(x_n)|.
  • λ<0\lambda<0：扰动平均收缩；
  • λ>0\lambda>0：扰动平均指数增长，是混沌的重要证据；
  • λ=0\lambda=0：常位于分岔边界。

计算时必须丢弃暂态，并避免轨道落到导数为零的数值特殊点。

考试要点

  • 不动点解 f(x)=xf(x)=x，不是 f(x)=0f(x)=0。
  • 稳定性看绝对值；连续系统的“导数负即稳定”不能搬过来。
  • kk 周期稳定性看一周导数乘积 (fk)′(f^k)'。
  • 解 f2(x)=xf^2(x)=x 后必须除去原不动点，剩下的才是二周期。

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