洛伦兹系统与连续时间混沌

洛伦兹系统是三维自治连续系统产生混沌的经典例子：

\begin{cases} \dot x=\sigma(y-x),\\ \dot y=rx-y-xz,\\ \dot z=xy-\beta z, \end{cases} \qquad \sigma,r,\beta>0.

在原始对流模型里， $x$ 表示对流强度， $y$ 与水平温差有关， $z$ 表示垂直温度分布偏离。

不动点

令三式为零。第一式给 $y=x$ ，第三式给 $z=x^2/\beta$ 。代入第二式：

x\left(r-1-\frac{x^2}{\beta}\right)=0.

所以原点

P_0=(0,0,0)

始终存在；当 $r>1$ 时还有

P_\pm= \left(\pm\sqrt{\beta(r-1)}, \pm\sqrt{\beta(r-1)},r-1\right).

雅可比矩阵

J= \begin{pmatrix} -\sigma&\sigma&0\\ r-z&-1&-x\\ y&x&-\beta \end{pmatrix}.

在原点， $-\beta$ 是一个特征值，另外两个满足

\lambda^2+(\sigma+1)\lambda+\sigma(1-r)=0.

在 $r=1$ ，两个对称不动点从原点产生，构成叉式分岔。

在 $P_\pm$ 处，特征多项式为

\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3=0,

其中

a_1=\sigma+\beta+1,\quad a_2=\beta(\sigma+r),\quad a_3=2\sigma\beta(r-1).

Routh–Hurwitz 条件要求 $a_1,a_2,a_3>0$ 且 $a_1a_2>a_3$ 。边界给出

r_H=\frac{\sigma(\sigma+\beta+3)}{\sigma-\beta-1},

前提是 $\sigma>\beta+1$ 。经典参数

\sigma=10,\qquad \beta=\frac83

给出 $r_H\approx24.74$ 。

变换

(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z)

保持方程不变。因而 $P_+$ 、 $P_-$ 成对出现，轨道若在一个“翅膀”附近绕行，也有一个镜像轨道在另一个翅膀附近。

向量场散度是常数：

\nabla\cdot\boldsymbol f=-\sigma-1-\beta<0.

随流运动的小体积满足

V(t)=V(0)e^{-(\sigma+1+\beta)t}.

所以三维体积被持续压缩。耗散并不意味着轨道收敛到一个点；拉伸与折叠可在整体收缩中形成分形吸引子。

轨道在某个非零不动点附近旋转并被逐渐甩出，随后穿过中央区域，落到另一个对称区域，再重复类似过程。每次停留时间对初值极敏感，产生看似随机的左右切换。

这种机制同时具备：

数值图“看起来乱”不是严格判据。最大 Lyapunov 指数必须用变分方程和周期归一化等可靠算法估计。

对 $\sigma=10,\beta=8/3$ ：

不要把整个 $1<r<24.74$ 简单写成“周期”或“暂态混沌”，实际全局结构更细。