分形、康托集与面包师映射

分形是不同尺度下仍显现细节、通常具有非整数维数的集合。动力系统中的分形不是装饰图案，而是“拉伸、压缩、折叠”长期重复留下的几何记录。

康托集

从 $[0,1]$ 出发，每次删去每个区间的中间三分之一。第 $n$ 步留下 $2^n$ 个长度 $3^{-n}$ 的小区间。

若取 $\varepsilon=3^{-n}$ ，覆盖数 $N(\varepsilon)=2^n$ ，所以

D=\lim_{n\to\infty} \frac{\ln2^n}{\ln3^n} =\frac{\ln2}{\ln3}.

它拓扑上由点组成，却比普通可数点集“厚”，维数介于 0 与 1。

用边长 $\varepsilon$ 的盒子覆盖集合，所需最少盒数记为 $N(\varepsilon)$ 。盒维数是

D_B=\lim_{\varepsilon\to0} \frac{\ln N(\varepsilon)}{\ln(1/\varepsilon)}

（若极限存在）。直觉上，若缩小观察尺度十倍，覆盖数约增长 $10^D$ 倍。

若集合由 $m$ 个互不重叠的缩小副本组成，每份线性缩放比为 $s$ ，则

m s^D=1 \quad\Longrightarrow\quad D=\frac{\ln m}{\ln(1/s)}.

重叠严重或各方向缩放不同的集合不能机械套公式，要回到覆盖数。

经典面包师映射像揉面：

拉伸放大初值差异，折回保持轨道有界，两者结合形成复杂混合。

B(x,y)= \begin{cases} (2x,ay),&0\le x\le1/2,\\ (2x-1,ay+1/2),&1/2<x\le1, \end{cases}

其中 $0<a<1/2$ 。每次迭代得到两条高度为 $a$ 的水平带；第 $n$ 次得到 $2^n$ 条高度 $a^n$ 的带。极限集合

A=\bigcap_{n\ge0}B^n(S)

在水平方向填满区间，在竖直方向像一类康托集。

$B^{n+1}(S)\subset B^n(S)$ ，这些嵌套集合逐步收缩到 $A$ 。任意初值的第 $n$ 次迭代都在 $B^n(S)$ 中，而 $B^n(S)$ 的条带厚度是 $a^n\to0$ 。所以轨道到 $A$ 的距离趋于零。

取 $\varepsilon=a^n$ 。一条长度 1、高度 $a^n$ 的条带沿水平方向约需 $a^{-n}$ 个方盒；共有 $2^n$ 条：

N(\varepsilon)\asymp2^na^{-n}.

因此

D_B =\lim_{n\to\infty} \frac{n\ln2-n\ln a}{-n\ln a} =1+\frac{\ln2}{\ln(1/a)}.

水平方向贡献 $1$ ，竖直康托方向贡献分数维。

耗散系统把相空间体积压缩到低维吸引子；混沌拉伸又让这个集合不能退化成光滑曲线。于是奇怪吸引子通常具有分形维数。

Kaplan–Yorke 维数用 Lyapunov 指数估计吸引子维数。若 $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\cdots$ ，取最大 $j$ 使前 $j$ 个指数和非负，则

D_{KY}=j+ \frac{\lambda_1+\cdots+\lambda_j}{|\lambda_{j+1}|}.

它是动力学估计，不应和严格盒维数无条件等同。