相平面的几何结构与守恒性质

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相图不只是“画几条曲线”。存在唯一性、不变集、守恒量和拓扑指数会严格限制轨道能怎样连接，这些限制往往比直接积分更强。

唯一性带来的几何结论

若向量场足够光滑，每个初值有唯一解。因此：

  • 两条不同轨道不能相交；
  • 非平衡轨道不能穿过不动点；
  • 若一条曲线是轨道或不变集，其他轨道不能横穿它；
  • 周期轨道像一道封闭屏障，平面轨道不能从里面穿到外面。

图上许多轨道都“汇入”同一稳定点并不矛盾：它们只在 t→∞t\to\infty 时渐近接近，有限时间并未相交。

不变集与对称性

若从集合 MM 出发的轨道始终留在 MM，则 MM 是不变集。检查直线 h(x,y)=0h(x,y)=0 是否不变，可计算

h˙=∇h⋅(f,g)\dot h=\nabla h\cdot(f,g)

并看 h=0h=0 时是否有 h˙=0\dot h=0。

若系统在变换 SS 下满足

f(Sx)=Sf(x),\boldsymbol f(S\boldsymbol x)=S\boldsymbol f(\boldsymbol x),

则轨道按 SS 成对出现。洛伦兹系统的 (x,y,z)↦(−x,−y,z)(x,y,z)\mapsto(-x,-y,z) 就产生两个对称翅膀。

梯度系统

若

x˙=−∇V(x),\dot{\boldsymbol x}=-\nabla V(\boldsymbol x),

则

V˙=−∥∇V∥2≤0.\dot V=-\|\nabla V\|^2\le0.

结果：

  • 非平衡轨道沿势能严格下降；
  • 不可能有闭轨；
  • 不可能有非平凡循环连接；
  • 势函数局部极小值通常对应稳定平衡。

二维向量场 (f,g)(f,g) 在单连通域内是梯度场的必要充分条件之一是

∂f∂y=∂g∂x\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial g}{\partial x}

（符号取决于是否写成 −∇V-\nabla V）。

保守与 Hamilton 系统

二维系统若存在守恒量 H(x,y)H(x,y)，满足

H˙=Hxx˙+Hyy˙=0,\dot H=H_x\dot x+H_y\dot y=0,

则轨道位于等高线 H=CH=C 上。典型 Hamilton 形式为

x˙=Hy,y˙=−Hx.\dot x=H_y,\qquad \dot y=-H_x.

其散度为零，面积局部守恒。孤立极小值附近常出现闭合等高线族与中心，但这些闭轨不是孤立的极限环。

梯度与保守不要混淆

  • 梯度系统：VV 严格下降，像有摩擦的小球；
  • 保守系统：HH 恒定，像无摩擦振子。

二者对闭轨的结论正好相反。

可逆系统

可逆系统在某个空间反射与时间反演组合下保持不变。例如若变换 (x,y,t)↦(x,−y,−t)(x,y,t)\mapsto(x,-y,-t) 不改变方程，相图会关于 xx 轴对称。可逆性常用于把半条轨道反射成闭轨或异宿连接。

平面指数

沿一条不经过不动点的简单闭曲线 CC 走一周，观察向量场方向角 ϕ\phi 的总变化：

IC=12πΔCϕ.I_C=\frac{1}{2\pi}\Delta_C\phi.

常见不动点指数：

  • 结点、焦点、中心：+1+1；
  • 鞍点：−1-1。

若 CC 包围若干孤立不动点，则

IC=∑iIi.I_C=\sum_i I_i.

任意周期轨道自身的指数为 +1+1，所以它内部不动点指数和必须等于 11。若内部有 SS 个鞍点、NN 个结点、FF 个焦点、CC 个中心，则

N+F+C−S=1.N+F+C-S=1.

这能快速排除许多不可能的闭轨布局。

指数积分公式

对向量场 (f,g)(f,g)，方向角 ϕ=arctan⁡(g/f)\phi=\arctan(g/f)。微分得

dϕ=f dg−g dff2+g2.d\phi=\frac{f\,dg-g\,df}{f^2+g^2}.

因此

IC=12π∮Cf dg−g dff2+g2.I_C=\frac{1}{2\pi} \oint_C\frac{f\,dg-g\,df}{f^2+g^2}.

多数考试题用几何旋转次数即可，不必真的积分。

面积收缩与散度

对平面向量场，随流运动的小面积 A(t)A(t) 满足

ddtln⁡A(t)=∇⋅f.\frac{d}{dt}\ln A(t)=\nabla\cdot\boldsymbol f.

散度恒负意味着局部面积收缩，但仅凭散度在全平面某些区域为负并不能自动证明没有闭轨；Bendixson 判据要求在相应单连通域内符号一致。

考试要点

  • “轨迹不相交”依赖存在唯一性条件。
  • 闭轨指数为 11，鞍点指数为 −1-1。
  • 守恒系统的闭轨通常成族，不是极限环。
  • 梯度系统用 V˙=−∥∇V∥2\dot V=-\|\nabla V\|^2 一行排除闭轨。

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