非线性相平面与局部线性化

二维非线性系统

\dot x=f(x,y),\qquad \dot y=g(x,y)

很少能显式求解，但零增长线、局部线性化和相平面几何通常足以勾勒全局行为。

零增长线

零增长线把平面分区。在每个区内判断 $f,g$ 的符号，就知道向量指向右上、左上、左下还是右下。

设 $\boldsymbol x^*$ 是不动点，令 $\boldsymbol\eta=\boldsymbol x-\boldsymbol x^*$ 。Taylor 展开：

\dot{\boldsymbol\eta} =J(\boldsymbol x^*)\boldsymbol\eta +O(\|\boldsymbol\eta\|^2),

其中

J(x,y)= \begin{pmatrix} f_x&f_y\\ g_x&g_y \end{pmatrix}.

若雅可比的所有特征值实部都不为零，不动点称为双曲不动点。Hartman–Grobman 定理保证非线性系统在局部与线性化系统拓扑等价，所以可以沿用结点、焦点、鞍点分类。

考虑

\dot x=2x(1+x^2-2y^2),\qquad \dot y=-y(1-4x^2+3y^2).

零增长线是

x=0\quad\text{或}\quad1+x^2-2y^2=0,

y=0\quad\text{或}\quad1-4x^2+3y^2=0.

交点为原点和 $(\pm1,\pm1)$ 四点。雅可比矩阵

J= \begin{pmatrix} 2+6x^2-4y^2&-8xy\\ 8xy&-1+4x^2-9y^2 \end{pmatrix}.

在原点为 $\operatorname{diag}(2,-1)$ ，所以是鞍点；在四个非零点处，迹负、行列式正、判别量负，所以都是稳定焦点。

这展示了考试标准流程：先解交点，再逐点代雅可比，不能用一个点的矩阵代表全部。

如果存在零实部特征值，线性项不能控制全部方向。例如

\dot x=-y-x^3,\qquad \dot y=x

在原点的线性化是中心，但

\frac{d}{dt}(x^2+y^2)=2x(-y-x^3)+2yx=-2x^4\le0.

非线性阻尼使轨道缓慢向内，因此原点实际是稳定焦点式吸引子，而不是闭轨中心。

常见处理方法：

对 $r^2=x^2+y^2$ ，

\dot r=\frac{x\dot x+y\dot y}{r}, \qquad \dot\theta=\frac{x\dot y-y\dot x}{r^2}.

极坐标能把“向内/向外”和“旋转”分开，尤其适合中心、焦点、极限环和 Hopf 分岔。

线性化只描述不动点附近。要补全全局相图，还应检查：

数值相图适合检查草图、发现候选结构，但不能独立证明：

最稳妥的结构是“解析判据给结论，数值图作验证”。