二维线性系统与相图分类

二维线性系统

\dot{\boldsymbol x}=A\boldsymbol x,\qquad A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

的全部长期行为由矩阵 $A$ 的特征值决定。它也是非线性系统局部分析的模板。

从特征解到相图

若 $A\boldsymbol v_i=\lambda_i\boldsymbol v_i$ ，则

\boldsymbol x_i(t)=e^{\lambda_i t}\boldsymbol v_i

是特征方向上的解。两个线性无关特征向量时，通解为

\boldsymbol x(t)= C_1e^{\lambda_1t}\boldsymbol v_1 +C_2e^{\lambda_2t}\boldsymbol v_2.

实部决定增长或衰减，虚部决定旋转。

迹—行列式平面

特征多项式

\lambda^2-\tau\lambda+\Delta=0,

其中

\tau=\operatorname{tr}A=a+d,\qquad \Delta=\det A=ad-bc.

判别量

D=\tau^2-4\Delta.

鞍点： $\Delta<0$

两个实特征值符号相反。一条稳定流形指向原点，一条非稳定流形离开原点。鞍点一定不稳定，且对小扰动具有结构稳定性。

结点： $\Delta>0,D>0$

两个同号实特征值：

$\tau<0$ ：稳定结点；
$\tau>0$ ：不稳定结点。

一般轨道最终贴近绝对值较小、变化较慢的特征值方向。

焦点： $\Delta>0,D<0$

特征值是 $\alpha\pm i\omega$ ，其中 $\alpha=\tau/2$ ：

$\alpha<0$ ：稳定螺旋；
$\alpha>0$ ：不稳定螺旋。

旋转方向不能从特征值直接看出，可在 $(1,0)$ 等简单点代入向量场判断。

中心： $\tau=0,\Delta>0$

纯虚特征值 $\pm i\omega$ ，线性系统轨道是闭曲线族，原点 Lyapunov 稳定但不吸引。对非线性系统，纯虚特征值属于非双曲边界，不能仅凭线性化断言仍是中心。

重特征值

若 $D=0$ ，特征值重复。

有两个线性无关特征向量：星形结点，所有方向都是特征方向；
只有一个特征向量：退化结点，解中出现 $te^{\lambda t}$ 项，轨道与唯一特征方向相切。

稳定性仍由重特征值的符号决定。

稳定、吸引、渐近稳定

Lyapunov 稳定：从足够近处出发，所有未来始终保持足够近；
吸引：邻域内轨道最终趋向不动点；
渐近稳定：两者同时成立。

稳定结点和稳定焦点渐近稳定；中心稳定但不吸引；某些非正规系统可出现“吸引但短期放大”，因此定义不能只凭图感判断。

两个试卷例子

鞍点

A=\begin{pmatrix}2&7\\2&-3\end{pmatrix}

有 $\Delta=-20<0$ ，无需完整求根即可断定鞍点。若题目要求画相图，再求特征值 $4,-5$ 与特征向量。

稳定结点

A=\begin{pmatrix}-3&2\\1&-2\end{pmatrix}

$\tau=-5,\Delta=4,D=9>0$ ，所以是稳定结点。特征值 $-4,-1$ ，长期贴近 $\lambda=-1$ 的方向。

考试作图流程

标原点；
若有实特征向量，画两条特征直线；
按特征值符号标箭头；
用典型曲线填充其余区域；
焦点或中心要标旋转方向；
写出类型与稳定性。

考试要点

$\Delta<0$ 直接判鞍点，是最快入口。
“两个负特征值”才是稳定结点；只说“同号”不够。
画鞍点必须区分稳定、非稳定流形。
非线性系统出现纯虚或零实部特征值时，线性化结论不可靠。