圆上的流与非均匀振子

角度变量满足 $\theta\equiv\theta+2\pi$，所以它的相空间不是无限直线，而是圆 $S^1$。圆上流仍是一维系统，但“最左”和“最右”必须接起来。

圆周相图

对

$$\dot\theta=f(\theta),\qquad f(\theta+2\pi)=f(\theta),$$

在 $[0,2\pi)$ 中求根、判符号，然后把箭头画到圆上。圆周不动点通常稳定和不稳定交替出现；若全部零点都是双曲的，零点总数为偶数。

非均匀振子

经典模型是

$$\dot\theta=\omega-a\sin\theta$$

或把正弦换成余弦。$\omega$ 是固有驱动力，$a$ 是位置相关的阻滞或耦合强度。

$|\omega|<|a|$：锁相

方程有两个不动点。以 $a>0$ 为例，解

$$\sin\theta^*=\frac\omega a.$$

一个稳定、一个不稳定。绝大多数初值最终停在稳定角度，平均角速度趋于零，称为锁相。

$|\omega|>|a|$：持续旋转

$f(\theta)$ 不再为零，角度始终沿同一方向变化，轨道不断绕圆。此时可计算一周时间

$$T=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{\omega-a\sin\theta},$$

平均角速度是 $2\pi/T$。

$|\omega|=|a|$：鞍结在圆上

稳定与不稳定不动点相遇，形成半稳定点后消失。这叫 SNIC 或“圆上的鞍结分岔”。越靠近临界值，轨道经过残余瓶颈越慢，周期趋于无穷大。

两套真题的圆上题

$\dot\theta=\frac12-\sin\theta$

不动点是 $\pi/6$ 与 $5\pi/6$。因为

$$f'(\theta)=-\cos\theta,$$

$\pi/6$ 稳定，$5\pi/6$ 不稳定。

$\dot\theta=\omega-a\cos\theta$，$a>\omega>0$

两根满足 $\cos\theta=\omega/a$。因为

$$f'(\theta)=a\sin\theta,$$

上半圆根不稳定，下半圆根稳定。不要因为正弦模型的结论而死记具体角度，直接求导最稳妥。

周期解还是不动点

在圆的相空间里，持续旋转经过 $2\pi$ 后回到同一个相位点，所以从几何上看是一条闭轨；但相位的提升量不断增加。在物理问题里通常称其为转动解，而把停在固定角度的状态叫锁相解。

与受迫振子同步的联系

两个振子的相位差 $\phi=\theta_1-\theta_2$ 常能化为

$$\dot\phi=\Delta\omega-K\sin\phi.$$

这就是圆上的非均匀振子：

• $|\Delta\omega|<K$ 时相位差锁定，两个振子以共同频率运行；
• $|\Delta\omega|>K$ 时相位差持续滑移，无法同步。

考试要点

• 明确写出“模 $2\pi$”，不要把等价角度重复算成不同点。
• 首尾区间的符号要接起来。
• 用 $f'(\theta^*)$ 判稳定时注意正弦、余弦模型导数符号不同。
• 无不动点不代表“无长期行为”，而是持续旋转。